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Quand la science ressemble à la religion: la théorie qui ne mourrait pas.

Voici le troisième livre que je lis en peu de temps sur les statistiques et c’est probablement le plus étrange. Après mon cher Taleb et son Cygne Noir, après les statistiques plus classiques avec Naked Statistics, voici l’histoire de la statistique bayésienne.

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Si vous ne connaissez pas Bayes, permettez-moi simplement de mentionner sa formule, belle par sa symétrie: [Selon wikipedia]
En théorie des probabilités, le théorème de Bayes énonce des probabilités conditionnelles : étant donné deux évènements A et B, le théorème de Bayes permet de déterminer la probabilité de A sachant B, si l’on connaît les probabilités de A, de B et de B sachant A.
P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)

Je n’ai jamais été vraiment à l’aise avec ses applications. J’avais sans doute tort encore une fois, étant donné tout ce que j’ai appris après la lecture de livre de Sharon Bertsch McGrayne. Mais j’ai aussi compris pourquoi je n’ai jamais été à l’aise: depuis trois siècles, il y a eu une guerre quasi-religieuse entre bayésiens et fréquentistes sur l’utilisation des probabilités. Sont-elles liées aux événements fréquents seulement ou peuvent-elles être appliquées à des événements rares? Quelle est la probabilité d’un événement rare qui peut ne jamais se produire ou peut-être juste une fois?

[Laissez-moi vous donner un exemple personnel: Je suis intéressé par l’entrepreneuriat en série, et j’ai fait et je fais encore des tonnes de statistiques sur les entreprises liées à Stanford. J’ai plus de 5’000 entrepreneurs, et plus de 1’000 sont en série. J’ai des résultats qui montrent que les entrepreneurs en série ne sont pas en moyenne meilleurs que les autres, en utilisant  les méthodes classiques des statistiques. Mais maintenant, je dois penser à utiliser:
P (Réussite | Série) = P (Série | Réussite) P (Réussite) / P (Série)
Je ne sais pas ce qui va en ressortir, mais je devrais essayer!].

Si vous voulez un bon résumé de l’ouvrage, lisez la critique de Andrew I. Daleby (pdf). McGrayne illustre l’histoire «récente» des statistiques et des probabilités par des scientifiques de renom (Laplace) et moins célèbres (Bayes), à travers de histoires célèbres (la machine Enigma et Alan Turing) et moins célèbres (des bombes atomiques perdues dans la nature) et c’est un livre fascinant. Je ne suis pas convaincu qu’il soit bon à expliquer la science, mais la quantité d’anecdotes est impressionnante. Et peut-être qu’il n’est pas question de science en définitive, mais plus de croyance comme cela est mentionné dans le livre: « Swinburne inséra des opinions personnelles à la fois dans les probabilités a priori et dans les données prétendument objectives du théorème de Bayes pour conclure que Dieu avait plus de 50% de chance d’exister; plus tard Swinburne calcula la probabilité de la résurrection de Jésus « à quelque chose comme 97 pour cent » [page 177]. Cela évidemment me rappelle la fameuse citation d’Einstein: « Dieu ne joue pas aux dés avec l’univers. » Ce n’est pas directement lié mais encore une fois, je lisais quelque chose sur les liens entre la science, la religion et les probabilités.

Lorsque l’âge n’empêche pas la créativité: un rare exemple en mathématiques

Je parle rarement ici (mais parfois) de Science ou de Mathématique. Seulement quand cela m’aide à illustrer ce que l’innovation ou la créativité ont en commun, et parfois quand je vois des crises analogues dans ces domaines (voir par exemple mes articles sur Dyson, Thiel, Ségalat ou Smolin). Et il y a un autre point connexe: il est souvent affirmé que les grandes découvertes scientifiques et les projets d’entreprise sont réalisés à un jeune âge.

YitangZhang
Yitang Zhang

Vous n’avez probablement jamais entendu parler de Yitang Zhang qui a stupéfié le monde des mathématiques le mois dernier en ayant résolu un problème vieux de plusieurs siècles. C’est un mathématicien totalement inconnu et plus surprenant, il a (plus de) 50 ans. Pour ceux qui s’intéressent au problème, vous pouvez lire d’abord l’article de Nature First proof that infinitely many prime numbers come in pairs. Fondamentalement, Zhang a prouvé qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la distance est inférieur à un nombre N donné. Les mathématiciens rêvent encore de prouver que N est égal à 2 – la conjecture des nombres premiers jumeaux -, mais Zhang est le premier à prouver que N existe … même si N vaut 70 millions!

Imagination / Intuition contre Logique / Raison

Comme Guillermo Martinez l’a écrit à juste titre dans un de ses essais, « il est bien connu qu’il n’y a qu’une seule façon plus efficace pour tuer la conversation dans une salle d’attente que d’ouvrir un livre, c’est d’ouvrir un livre de mathématiques ». J’espère pourtant que vous lirez ce qui suit !

Même dans la haute technologie, l’innovation et l’entrepreneuriat, le thème de l’imagination face à la raison, thème qui pourrait être traduit par « la technologie et le marché », est une question récurrente. Alors, quand je lis des livres sur la créativité, que ce soit scientifique ou artistique, je suis toujours à la recherche de liens avec l’innovation. J’ai eu l’occasion de le vérifier à nouveau avec Guillermo Martinez et son Borges et les mathématiques. Borges est probablement l’un des « poètes » qui met le plus de mathématiques dans son œuvre littéraire. Guillermo Martinez qui est à la fois un romancier et un mathématicien a récemment publié en anglais ce joli petit livre sur les mathématiques dans les nouvelles de Borges. J’ai déjà parlé de mathématiques dans un post récent alors laissez-moi ajouter ici quelques mots sur ce que j’ai aimé.

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Martinez cite Borges qui cite Poe: « Je crois – peut-être naïvement – aux explications de Poe. Je pense que le processus mental qu’il décrit correspond réellement au processus créatif. Je suis sûr que c’est la façon dont fonctionne l’intelligence: à travers des revirements de l’esprit, en franchissant des obstacles et en produisant des éliminations. La complexité de l’opération qu’il décrit ne me dérange pas, je soupçonne que la véritable approche doit être encore plus complexe et beaucoup plus chaotique et hésitante. Tout cela ne signifie pas pour suggérer que les arcanes de la création poétique ont été révélées par Poe. Dans les liens que l’écrivain explore, la conclusion qu’il tire de chaque hypothèse est logique, bien sûr, mais pas la seule nécessaire ». Borges dans La genèse du Corbeau de Poe.

Et il ajoute plus encore sur le processus créatif: Quant au débat sur l’intuition « divine, ailée » en opposition à la logique, au pas de tortue, prosaïque, je voudrais aller à l’encontre d’un mythe à propos des mathématiques: le processus que Borges décrit est exactement le même que celui qui se passe dans la création mathématique. Prenons le mathématicien qui doit prouver un théorème pour la première fois. Notre mathématicien cherche à prouver un résultat sans même savoir si une telle preuve existe vraiment. Il tâtonne son chemin à travers un monde inconnu, à prouver et à faire des erreurs, à affiner son hypothèse, à tout recommencer et essayer une autre approche. Lui aussi a des possibilités infinies à sa portée, à chaque pas qu’il fait. Et si chaque tentative est logique, en aucun cas elle ne sera la seule possible. C’est comme les coups d’un joueur d’échecs. Chacun des mouvements du joueur d’échecs est conforme à la logique du jeu, afin de piéger son rival, mais aucun n’est prédéterminé. Il s’agit d’une étape cruciale dans l’élaboration artistique et mathématique, et dans n’importe quelle tâche d’imagination. Je ne crois pas qu’il existe quelque chose d’unique à la création littéraire en ce qui concerne la dualité de l’imagination / intuition par rapport logique / raison.

Je crois fermement que l’innovation est très similaire au processus de création artistique ou scientifique. Mais dans un autre essai, Martinez dit plus sur la création: « C’est le même sentiment d’euphorie que vous ressentez lorsque, après de nombreuses années de lutte avec votre propre ignorance, vous comprenez soudainement comment regarder quelque chose. Tout devient plus beau, et vous avez le sentiment que vous pouvez voir plus loin qu’avant. C’est un moment glorieux, mais vous devez payer le prix pour ce qui est votre obsession du problème, comme une plaie constante ou un caillou dans votre chaussure. Je ne recommanderais pas ce genre de vie à tout le monde. Einstein avait un ami proche, Michele Besso, avec qui il a discuté de nombreux détails de la théorie de la relativité. Mais Besso-même n’a jamais accompli quelque chose d’important dans la science. Sa femme demanda un jour pourquoi à Einstein, puisque, en fait, son mari était si doué. « Parce qu’il est une bonne personne! » répondit Einstein. Et je pense que c’est vrai. Vous devez être un fanatique, qui ruine sa vie et les vies des personnes qui lui sont proches. » Encore une fois vous pourriez méditer sur le taux élevé de divorce dans la Silicon Valley et la créativité qui nécessite du fanatisme.

Pour ceux qui s’intéressent vraiment en mathématiques, je ne peux pas éviter de mentionner quelques autres sujets abordés par Martinez: le théorème d’incomplétude de Gödel est l’une des plus grandes réalisations en mathématiques, même s’il est compliqué à comprendre. D’une une manière très simpliste, on peut dire que même en mathématiques, il ya des choses qui sont vraies, mais qui ne peuvent pas être prouvées. Le paradoxe de Russell est presque aussi fascinant mais plus simple à saisir:

Il y a quelques versions de ce paradoxe qui se rapprochent de situations réelles et donc peut-être plus faciles à comprendre pour les non-logiciens. « Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui même ? L’étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu’un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu’il n’est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n’y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la non-existence d’un tel barbier. » (Article de Wikipédia)

On peut formuler le paradoxe ainsi : « l’ensemble des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n’appartiennent pas à eux-mêmes, il n’appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l’existence d’un tel ensemble paradoxale. » (Article de Wikipédia)

Symboliquement: si

alors

7 x 7 = (7-1) x (7+1) + 1

Je notai hier cette drôle de formule. Y aurait-il de la magie comme le pensent beaucoup dans le chiffre 7. Est-ce que je serais en train de perdre de mon esprit rationnel – quoique je doive admettre que le monde des start-up est souvent irrationnel? Non : le nombre 7 n’est pas le seul. Il en de même pour 5 [25=24+1], 3 [9=8+1], et ainsi de suite 11, 17. Alors il s’agit des nombres premiers? Même pas, la formule est vérifiable pour tous les entiers… Je me suis senti un peu stupide quand j’ai découvert qu’il ne s’agissait que d’appliquer la formule a^2 – b^2 = (a-b) x (a +b)!!

J’adore les mathématiques et elles n’ont rien de magique, malgré leurs mystères. J’aime aussi lire des livres sur le sujet. Les meilleurs montrent la poésie, la beauté de la discipline. Et pour conclure sur cet article inhabituel sur ce blog, voici quelques unes de mes lectures passées, sans préférence particulière:

Il y a toujours des problèmes non résolus. Le plus célèbre est sans doute de résoudre l’hypothèse de Riemann. Voici deux livres qui racontent sa genèse:

(Cliquer sur chaque image pour un lien au livre)

Il y a même un prix de un million de dollars pour 7 prix à résoudre, proposé par le Clay Institute. Le premier problème résolu fut la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman. Perelman a décliné le prix mais ceci est une autre histoire !

Avant ces problèmes, il y eut les problèmes de Hilbert. A l’époque, le Théorème de Fermat était sans doute le plus célèbre !

Enfin deux derniers exemples pour terminer, mais je pourrais en citer tant d’autres, voici la biographie de génies des mathématiques assez étranges, Srinivasa Ramanujan et Paul Erdös

Je reviendrais peut-être un jour sur le sujet, et plus généralement sur les livres de popularisation des sciences! N’hésitez pas à me donner vos exemples et conseils… 🙂

NB: si vous cherchez les éditions en anglais, voir l’article http://www.startup-book.com/2012/11/19/7-x-7-7-1-x-71-1/