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Grigori Perelman selon Masha Gessen

J’avais brièvement mentionné Grigori Perelman dans un post assez ancien: 7 x 7 = (7-1) x (7+1) + 1. J’ai récemment découvert un nouveau livre sur ce mathématicien exceptionnel, non pas tant sur ses réalisations, mais davantage sur sa personnalité.

A propos du syndrome d’Asperger

Je ne vais pas raconter ici ce que Masha Gessen fait avec talent, mais tout de même citer un passage sur les Asperger: « Il me semble que nombre de lanceurs d’alertes, écrivit Atwwod, sont atteints du syndrome d’Asperger. J’en ai rencontré plusieurs qui appliquaient à leur travail le code de déontologie de leur entreprise ou du gouvernement et avaient dénoncé des entorses au règlement et de la corruption. Tous se sont étonnés ensuite de voir que leur direction et leurs collègues ne comprenaient guère leur attitude. »
Ce n’est donc peut-être pas un hasard si les fondateurs des mouvements dissidents en Union soviétique se trouvaient parmi les mathématiciens et les physiciens. L’Union soviétique n’était pas l’endroit idéal pour les gens qui prenaient les choses au sens littéral et s’attendaient à ce que le monde fonctionne de façon prévisible, logique et juste.
[Pages 215-6]
[…]
On peut également interpréter ainsi les difficultés qu’il éprouvait lorsqu’il présentait ses solutions. Si Perelman souffrait du syndrome d’Asperger, cette incapacité à voir « la grande image » en est peut-être un des traits les plus surprenants. Les psychologues britanniques Uta Frith et Francesca Happe ont parlé de ce qu’elles appellent la « faible cohérence centrale », caractéristique des troubles du spectre autistique. les autistes se concentrent sur les détails, au détriment de l’image globale. Lorsqu’ils parviennent à la reconstituer, c’est parce qu’ils en ont arrangé les divers éléments, un peu comme les éléments de la table périodique, dans un schéma systémique qui les satisfait à l’extrême. « … les faits les plus intéressants, écrivit Poincaré, l’un des plus grands esprits systémisants de tous les temps, il y a plus d’un siècle, sont ceux qui peuvent servir plusieurs fois, ce sont ceux qui ont une chance de se renouveler. Nous avons eu le bonheur de naitre dans un monde où il y en a. Supposons qu’au lieu de soixante éléments chimiques nous en ayons soixante milliards, qu’ils ne soient pas les uns communs et les autres rares, mais qu’ils soient répartis uniformément. Alors toutes les fois que nous ramasserions un nouveau caillou, il y aurait une grande probabilité pour qu’il soit formé de quelques substances inconnue. […] Dans un pareil monde, il n’y aurait pas de science; peut-être la pensée et même la vie y seraient-elles impossibles puisque l’évolution n’aurait pas pu y développer les instincts conservateurs. Grâce à Dieu, il n’en est pas ainsi. »
Les personnes atteinte du syndrome d’Asperger appréhendent le monde petit caillou par petit caillou. En parlant de l’existence de ce syndrome dans la société, Attwood recourait à la métaphore d’un puzzle de cinq mille pièces, « où les gens normaux disposeraient de l’image complète sur le couvercle » ce qui leur permmettrait d’avoir des intuitions globales. Les Asperger, eux, ne verraient pas cette grande image et devraient essayer d’imbriquer les morceaux un par un. Ainsi, peut-être que les règles telles que « n’ôte jamais ta chapka » et 2lis tous les livres qui sont inscrits sur la liste » formaient pour Gricha Perelman un moyen de voir l’image manquante sur le couvercle, d’englober tous les éléments de la table périodique du monde. C’était seulement en s’accrochant à ces règles qu’il pouvait vivre sa vie.
[Pages 217-8]

A propos du pouvoir

Un autre sujet intéressant abordé par Misha Gessen se trouve page 236:
– Lorsqu’il a reçu la lettre de la commission qui l’invitait il a répondu qu’il ne parlait pas avec les comités, s’exlama gromov, et c’est exactement ce qu’il faiut faire. Ils représentent tout ce que l’on ne devrait jamais accepter. Et si cette attitude paraît extrême, ce n’est que par rapport au conformisme qui caractérise le monde des mathématiques.
– Mais pourquoi refuser de parler aux comités?
– On ne parle pas aux comités, on parle à des gens! s’écria Gromov, exaspéré. Comment peut-on parler à un comité? Qui sait qui fait partie des comités? Qui vous dit que Yasser Arafat n’en fait pas partie?
– Mais on lui a envoyé la liste des membres, et il a continué à refuser.
– De la manière dont cela avait commencé, il avait bien raison de ne pas vouloir répondre, persiste Gromov. Dès qu’une communité commence à se conduire comme une machine, il ne reste plus qu’à couper les ponts, un point c’est tout. Le plus étrange, c’est qu’il n’y ait plus de mathématicien qui en fasse autant. C’est ça qui est bizarre. La plupart des gens acceptent de traiter avec des comités. Ils acceptent d’aller à Pékin et de recevoir un prix des mains du président Mao. Ou du roi d’espagne, de toute façon, cela revient au même!
– Et pourquoi, demandai-je, le roi d’Espagne ne pourrait-il pas avoir l’honneur d’accrocher une médaille au cou de Perelman?
– Qu’est-ce que c’est un roi? demanda gromov, totalement furieux à présent. Les rois, ce sont les mêmes crétins que les communistes. Pourquoi un roi décernerait-il une médaille à un mathématicient? Qu’est-ce qui le lui permet? Il n’est rien d’un point de vue mathématique. Pareil pour le président. Mais il y en a un qui a fait main basse sur le pouvoir comme un brigand et l’autre qui l’a hérité de son père. Cela ne fait aucune différence.
Contrairement à eux, m’explique encore Gromov, Perelman avait apporté au monde une véritable contribution.

Cela me rappelle la citation d’un collègue: « on ne trouve pas beaucoup de statues pour les comités dans les parcs publics. »

Il vaut probablement la peine d’ajouter ici un article du New Yorker que Gessen mentionne également: Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who solved it par Sylvia Nasar et David Gruber. Sur un sujet connexe, les auteurs citent Perelman, qu’ils ont rencontré: Il a mentionné un différend qu’il avait eu des années plus tôt avec un collaborateur sur la façon de créditer l’auteur d’une preuve particulière, et s’est déclaré consterné par l’éthique laxiste de la discipline. « Ce ne sont pas les gens qui enfreignent les normes éthiques qui sont considérés comme des extraterrestres », a-t-il déclaré. « Ce sont des gens comme moi qui sont isolés. » Nous lui avons demandé s’il avait lu l’article de Cao et Zhu. « Je ne sais pas quelle nouvelle contribution ils ont apportée », a-t-il déclaré. « Apparemment, Zhu n’a pas bien compris l’argument et l’a retravaillé. » Quant à Yau, Perelman a déclaré: « Je ne peux pas dire que je suis outré. Les autres font pire. Bien sûr, il y a beaucoup de mathématiciens qui sont plus ou moins honnêtes. Mais presque tous sont conformistes. Ils sont plus ou moins honnêtes, mais ils tolèrent ceux qui ne le sont pas. »

Work Rules! de Laszlo Bock (partie II) – les GLAT

Dans Work Rules!, Bock mentionne brièvement les GLAT (Google Labs Aptitude Tests) qui étaient également mentionnés dans le Google Story de David Vise. Mais il dit rapidement qu’ils ont peut-être été surexploités et parfois une perte de temps et de ressources. Mais permettez-moi de me référer à sa page 73:

Cette page commence par l’image ci-dessus qui peut également être trouvée sur le blog de Google: Attention: nous freinons pour la théorie des nombres. Il n’est jamais trop tard pour résoudre des problèmes de mathématiques … Si vous l’aviez résolu à ce moment-là, vous auriez eu alors accès au problème suivant:

le second problème:
f(1)=7182818284 
f(2)=8182845904 
f(3)=8747135266 
f(4)=7427466391 
 f(5)= __________

Encore une fois, n’hésitez pas à essayer… vous trouverez les réponses ici. Bock ajoute simplement ceci: Le résultat? Nous avons embauché exactement zéro personne.

Cela vous aidera peut-être:

2.71828182845904523536028747135266249
7757247093699959574966967627724076630
3535475945713821785251664274274663919
3200305992181741359662904357290033429
5260595630738132328627943490763233829
8807531952510190115738341879307021540
8914993488416750924476146066808226480
0168477411853742345442437107539077744
9920695517027618386062613313845830007
5204493382656029760673711320070932870
9127443747047230696977209310141692836
8190255151086574637721112523897844250
5695369677078544996996794686445490598
7931636889230098793127736178215424999
2295763514822082698951936680331825288
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2509443117301238197068416140397019837
6793206832823764648042953118023287825
>0981945581530175671736133206981125099

ainsi que cela

x = 1
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7757247093699959574966967627724076630
3535475945713821785251664274274663919

x = 2
2.71828182845904523536028747135266249
7757247093699959574966967627724076630
3535475945713821785251664274274663919

x = 3
2.71828182845904523536028747135266249
7757247093699959574966967627724076630
3535475945713821785251664274274663919

x = 4
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7757247093699959574966967627724076630
3535475945713821785251664274274663919

x = 5
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Ce que nous ne saurons jamais

C’est le troisième livre que je lis de Marcus du Sautoy. Après la Symphonie des nombres premiers et La symétrie ou les maths au clair de lune, voici Ce que nous ne saurons jamais.

Sept frontières de la connaissance selon du Sautoy: l’aléatoire et le chaos, la physique des particules et l’infiniment petit, la physique quantique et l’espace, l’univers et l’infiniment grand, le temps et la gravité, la conscience, la/les mathématique(s).

Pour l’illustrer, voici deux courts extraits:

Du Sautoy demande ce qu’est le B. dans Benoit B. Mandelbrot et la réponse est Benoit B. Mandelbrot. Joli!

Et tout aussi joli sur la « pureté des disciplines » traduit de xkcd.com

Si vous aimez la/les science(s) ou la/les mathématique(s), un incontournable!

Claude Shannon, un mathématicien honorable?

A Mind at Play est un livre très intéressant pour plusieurs raisons. Le sous-titre « Comment Claude Shannon a inventé l’ère de l’information » en est une raison. C’est une belle biographie d’un mathématicien dont la vie et la production ne sont pas si connues. Et qu’est-ce que l’information? Je vous invite à lire ces 281 pages ou si vous êtes trop paresseux ou occupé, au moins la page sur Shannon sur Wikipedia.

Ce sur quoi je me concentre ici, c’est la tension permanente entre les mathématiques et l’ingénierie, entre (ce que les gens aiment parfois opposer) les mathématiques pures et appliquées. Les mathématiques pures seraient honorables, les mathématiques appliquées ne le seraient pas, si nous admettons qu’il existe une mathématique pure ou appliquée. Alors laissez-moi extraire quelques courts passages éclairants.

Le mathématicien typique n’est pas le genre d’homme à mener un projet industriel. Il est un rêveur, pas très intéressé par les choses ou les dollars pour lesquels elles peuvent être vendues. Il est perfectionniste, ne veut pas faire de compromis; idéalise jusqu’à l’impraticabilité; est tellement préoccupé par l’horizon lointain qu’il ne peut pas garder son œil sur la balle. [Page 69]

Dans le chapitre 18, intitulé Mathematical Intentions, Honorable and Otherwise, les auteurs creusent plus encore: [Le mathématicien] professe avant tout la fidélité au monde «austère et souvent aberrant» des mathématiques pures. Si les mathématiques appliquées se préoccupent de questions concrètes, les mathématiques pures existent pour elles-mêmes. Ses questions cardinales ne sont pas: «Comment crypter une conversation téléphonique?» Mais plutôt «Y a-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux?» Ou «Chaque affirmation mathématique vraie a t-elle une preuve?» Le divorce entre les deux écoles a des origines anciennes. L’historien Carl Boyer le fait remonter à Platon, qui considérait le calcul comme convenable pour un marchand ou un général, qui «doit apprendre l’art des nombres sinon il ne sait pas comment répartir ses troupes». Mais le philosophe doit étudier les mathématiques supérieures ». Parce qu’il doit sortir du vaste océan du changement et s’emparer de l’être véritable. « Euclide, le père de la géométrie, était encore plus snob ». Il y a une légende sur lui quand un de ses étudiants demanda quel usage avait l’étude de la géométrie, Euclide avait demandé à son esclave d’accorder trois pence à l’étudiant, «puisqu’il doit profiter de ce qu’il apprend».
Plus proche de notre époque, le mathématicien G. H. Hardy écrirait au début du vingtième siècle ce qui devint le texte fondateur des mathématiques pures. L’Apologie d’un mathématicien est un «manifeste pour les mathématiques», qui a emprunté son titre à l’argument de Socrate face aux charges liée à sa peine capitale. Pour Hardy, l’élégance mathématique était une fin en soi. « La beauté est le premier test », insistait-il. « Il n’y a pas de place permanente dans le monde pour les mathématiques laides ». Un mathématicien n’est donc pas un simple « solutionneur » de problèmes pratiques. Lui, «comme un peintre ou un poète, est un créateur de modèles. Si ses modèles sont plus permanents que les leurs, c’est parce qu’ils sont faits d’idées. » En revanche, les mathématiques appliquées ordinaires étaient «ennuyeuses», «laides», «triviales» et «élémentaires»
Et un (célèbre) lecteur de l’article de Shannon l’a rejeté avec une phrase qui irritèrent les partisans de Shannon pendant des années: «La discussion est suggestive tout au long, plutôt que mathématique, et il n’est pas toujours clair que les intentions mathématiques de l’auteur soient honorables. » [Pages 171-2]

Cela me rappelle un autre grand livre que j’ai lu l’an dernier, mathematics without apologies, avec un chapitre intitulé « Not Merely Good, True and Beautiful ». Shannon était un « tinkerer » (un bricoleur), un terme que j’ai découvert quand j’ai lu la biographie de Noyce, un autre bricoleur brillant. C’était un bricoleur brillant et c’était un mathématicien brillant. Il avait lui-même de fortes opinions sur la qualité de la recherche scientifique (pure ou appliquée – qui se soucie vraiment?): nous devons maintenir notre propre maison en première classe. Le sujet de la théorie de l’information a certainement été vendu, sinon survendu. Nous devrions maintenant nous intéresser à la recherche et au développement au plus haut niveau scientifique que nous puissions maintenir. La recherche plutôt que l’exposition est la note maîtresse, et nos seuils critiques devraient être relevés. Les auteurs ne doivent soumettre leurs meilleurs efforts qu’après des critiques précises d’eux-mêmes et de leurs collègues. Quelques articles de recherche de premier ordre sont préférables à un grand nombre d’articles mal conçus ou à moitié finis. Ces derniers ne sont pas à mettre au crédit de leurs auteurs et une perte de temps pour leur lecteur. [Page 191]

Un bricoleur de génie comme le montre la video qui suit…

et semble-t-il concepteur du (ou d’un des) premier ordinateur qui jouait aux échecs. C’était un jongleur et un monicycliste…

Dans le chapitre Constructive Dissatisfaction, le sujet est l’intelligence. Il faut du talent et de la formation, mais aussi de la curiosité et même de l’insatisfaction: pas le type d’insatisfaction dépressive (dont, sans la mentionner, il avait vécu sa juste part), mais plutôt une « insatisfaction constructive », ou « une légère irritation quand les choses ne semblent pas aller comme il faut ». C’était au moins une image rafraîchissante et non sentimentale du génie: un génie est simplement quelqu’un qui est irrité utilement. Il avait aussi proposé une description de sis stratégies pour trouver une solution aux problèmes: simplifier, encercler, reformuler, analyser, inverser et étendre. Vous aurez besoin de lire le chapitre, pages 217-20.

Il était aussi un bon investisseur. En fait, il était proche de fondateurs de startups et avait un accès privilégié à des gens comme Bill Harrison (Harrison Laboratories) et Henry Singleton (Teledyne) et bien qu’il ait utilisé ses connaissances pour analyser les marchés boursiers voici ce qu’il a à dire sur les investissements: Beaucoup de gens regardent le prix des actions, quand ils devraient regarder les fondamentaux d’une entreprise et ses revenus. il y a beaucoup de problèmes liés à la prédiction des processus stochastiques, par exemple les bénéfices des entreprises … Mon sentiment général est qu’il est plus facile de choisir des entreprises qui vont réussir que de prédire des variations à court terme, des choses qui durent seulement des semaines ou des mois, dont ils s’inquiètent au Wall Street Week. Il y a beaucoup plus de hasard là-bas et il se passe des choses que vous ne pouvez pas prédire, ce qui amène les gens à vendre ou à acheter beaucoup d’actions. Au point de répondre à la question de la meilleure théorie de l’information pour l’investissement, « l’information des initiés. » [Page 241-2]

Un génie, un homme sage, un mathématicien honorable!

8 mars – Journée internationale des femmes

Sur le point de donner mon cours d’optimisation ce matin, je viens de me rappeler qu’une seule femme a obtenu la médaille Fields. C’était en 2014. Malheureusement, elle est morte d’un cancer l’année dernière.

Maryam Mirzakhani (3 mai 1977 – 14 juillet 2017) est devenue la première iranienne et la première et seule femme à remporter la médaille Fields.

Permettez-moi d’ajouter que dans le domaine de l’optimisation, apparemment, une seule femme a reçu le prix Dantzig, Eva Tardos.

Je dois admettre que je n’ai pas pris le temps de penser à un nom similaire pour les startups et l’innovation. Commentaires bienvenus …

Les mathématiques à nouveau: inattendues, inévitables et économiques

« La libertad es como un número primo. » Roberto Bolaño, Los Detectives Salvajes

mathematics without apologies de Michael Harris, je l’ai dit ailleurs, est une lecture incontournable si vous êtes intéressé par les mathématiques. Et probablement encore plus, si vous ne l’êtes pas. Mais encore une fois, ce n’est pas une lecture facile.

Après la déclaration dans son chapitre 3 selon laquelle les mathématiques n’étaient « pas mêmes utiles, vraies ou belles », Harris poursuit avec des arguments provocateurs et judicieux sur les relations que les mathématiques ont avec l’argent (Chapitre 4 – Megaloprepeia), avec le corps (Chapitre 6 – D’autres recherches sur le problème corps-esprit), avec les fondations (Chapitre 7 – L’habitude de s’accrocher à un terrain ultime) et même avec les astuces (Chapitre 8 – La science des astuces), et finalement Harris revient aux Apologies après un chapitre personnel sur l’inspiration et le travail (Chapitre 9 – Un rêve mathématique et son interprétation).

L’auteur m’a fait découvrir, honte sur moi, que «apologie» ne signifie pas que « éloge », mais aussi « excuse » ou « défense ». Difficulté et confusion du vocabulaire, un thème récurrent du livre de Harris. Permettez-moi d’être tout à fait clair à nouveau. Je n’ai pas tout compris dans ce livre et j’ai imaginé que Harris aurait pu créer un nouvel indice: comme vous le savez peut-être si vous lisez mon blog, je mentionne des indices de temps en temps, comme l’indice Erdős, l’indice Tesla; ce nouvel indice pourrait être 0 pour les géants ou les supergéants des mathématiques, les humains qui pourraient recevoir la Médaille Fields, le Prix Abel ou équivalent, 1 pour ceux qui peuvent comprendre (tout) ce qui a été écrit en mathématiques par ceux qui ont l’indice 0; puis 2, pour ceux qui peuvent comprendre (tout) qui a été écrit en mathématiques par ceux ont l’indic 1, etc… Je ne sais pas où l’index s’arrêterait et peut-être qu’il existe déjà … J’aimerais croire que je suis au niveau 3 quand j’ai fait la découverte au sujet de « apologie », « éloge », « excuses », je me suis remis au niveau 5 …

Harris va encore plus loin que Hardy avec ses « No apologies », même s’il le cite: L’ironie n’a pas dit son dernier mot sur l’utilité [de la science], même si l’utilité est comprise, d’après Hardy, comme ce qui « tend à accentuer les inégalités existantes dans la répartition de la richesse » [Page 296]. Je pense que Harris a écrit un livre très utile sur les mathématiques. J’ajoute une autre citation sur la nature de la beauté mathématique: «il existe un très haut degré d’inattendu, combiné à l’inévitabilité et à l’économie» [Page 307].

En cherchant plus d’informations sur Harris, j’ai trouvé sa page Web qui commence par la citation que je donne plus haut de Bolaño. Quand j’ai découvert Bolaño il y a quelques années, ce fut un tel choc que j’ai lu tout ce que j’ai pu trouver. Encore une fois sans comprendre tout. Mais si vous lisez le chapitre 9 de Harris, vous lirez que « ne pas comprendre tout » peut ne pas être important, en comparaison de l’impact que la confusion (apparente) peut susciter…

PS: J’aurais pu ajouter que pendant que je lisais Harris a émergé uen controverse quant à une nouvelle solution du problème P vs. NP. Plus d’informations dans un pdf détaillé et sur le blog de son auteur. J’aurais également dû mentionner le programme de Langlands et Alexandre Grothendieck, que j’ai par ailleurs mentionné ici. Mais le livre de Harris est tellement foisonnant…

Les mathématiques – pas mêmes utiles, vraies ou belles

« Ce ne sont pas les billes qui comptent. C’est le jeu. » Proverbe néerlandais

« En mathématiques, l’art de poser une question doit être considéré d’une valeur supérieure à celle de la résoudre. » Cantor

Les mathématiques peuvent être simples, voire évidentes; et belles, et même utiles. Il suffit de lire mon article précédent sur les 17 équations qui ont changé le monde d’Ian Stewart qui ont changé le monde. Mais il y a d’autres points de vue plus provocateurs. Il suffit de lire mathematics without apologies de Michael Harris.

Harris n’est certainement pas aussi facile à lire que Stewart. Mais c’est aussi (peut-être plus) enrichissant. Son chapitre 3, par exemple, est intitulé Not Merely Good, True and Beautiful (pas mêmes utiles, vraies ou belles). Dans ce monde de pression croissante pour justifier l’utilité de la science, l’auteur contre-attaque. « Il existe maintenant une vaste littérature sur les pressions exercées sur les laboratoires universitaires. Ces livres ignorent en général les mathématiques, où les enjeux ne sont pas aussi élevés et les possibilités d’applications commerciales limitées, en particulier dans les mathématiques pures ». [Page 55]

Mais même la Vérité semble être en jeu. « Si l’on pense vraiment profondément à la possibilité que les fondements des mathématiques soient incohérents, cela est extrêmement troublant pour tout esprit rationnel » [Voevodsky cité à la page 58] et quelques lignes avant « Bombieri a rappelé les préoccupations concernant la cohérence, la fiabilité et la véracité des mathématiques qui ont surgi pendant la crise des fondations et a fait allusion au statut ambigu des preuves informatiques et des preuves trop-longues ».

Enfin, Harris mentionne une certaine confusion au sujet de la beauté citant Villani: « L’aspect artistique de notre discipline est [si] évident » que nous ne voyons pas comment quelqu’un pourrait le manquer… ajoutant immédiatement que « ce qui fait généralement progresser un mathématicien est le désir de produire quelque chose de beau ». Harris cite alors un expert en art qui conseille aux amateurs de musées de « laisser aller [leurs] idées préconçues selon lesquelles l’art doit être beau ». [Page 63]

Harris ajoute que « l’utilité des applications pratiques, la garantie de la certitude absolue et la vision des mathématiques en tant que forme d’art – l’utile, le vrai et le beau, en résumé- ont l’avantage de tendre la main avec des associations pratiques alors que nous devrions garder à l’esprit que ce que vous êtes prêt à voir comme utile dépend de votre point de vue, et que d’autre part, le vrai et le beau peuvent eux-mêmes être considérés comme des utilités. » [Pages 63-4]

La réponse brève à la question du «pourquoi» va être que les mathématiciens s’engagent dans les mathématiques parce qu’elles nous plaisent. [Page 68]

Peut-être plus dans un autre article…

Au lieu d’une autre publication, voici une courte section extraite de la page 76 et ajoutée le 27 août:

Les parallèles entre mathématique et art

« Ici, le parallèle présumé mais largement infondé entre les mathématiques et les arts offre une clarté inattendue. Quiconque veut inclure les mathématiques parmi les arts doit accepter l’ambiguïté qui vient avec ce statut et avec les différentes perspectives implicites dans différentes façons de parler de l’art. Six de ces points de vue sont particulièrement pertinents: les champs sémantiques changeants que le mot art a historiquement désignés; les tentatives des philosophes de définir l’art, par exemple, en le subordonnant à la notion (largement dépassée) de la beauté ou à fonder (« ground ») l’éthique dans l’esthétique, comme dans les Principia Ethica de G. E. Moore, qui, par l’intermédiaire de l’Apologie de Hardy, continue d’influencer les mathématiciens; l’attitude sceptique de ceux, comme Pierre Bourdieu, qui voit le goût artistique comme affirmation de la distinction sociale; les institutions du monde de l’art, dont les représentants réfléchissent sur eux-mêmes dans les les entretiens de Muntadas; l’expérience créative personnelle des artistes dans le cadre de la tradition artistique; et l’existence irréductible et (habituellement) matérielle des œuvres d’art elles-mêmes.
De façon pratique, chacune de ces six approches de l’art a une contrepartie mathématique: les cognats (mots apparentés) du mot mathématiques lui-même, dérivent du mot grec mathesis, qui signifie simplement « apprentissage », et dont le sens s’est développé et contracté à plusieurs reprises au cours des millénaires et d’une culture à une autre, y compris celles qui n’avaient aucune affinité particulière pour la racine grecque; les mathématiques des philosophes des écoles « encyclopédistes »; les mathématiques scolaires dans leur rôle de filtre social et professionnel; Les institutions sociales des mathématiques avec leur complexité interne et des interactions non moins complexes avec d’autres institutions sociales et politiques; l’expérience créative personnelle du mathématicien dans le cadre de la tradition (le dialogue sans fin avec les géants et les super-géants des listes d’IBM et autres); et l’existence irréductible et (habituellement) immatérielle des théorèmes, des définitions et d’autres notions mathématiques. »

A suivre peut-être…

Que savez-vous des mathématiques, et les aimez-vous?

En hommage à Maryam Mirzakhani

De temps en temps, je mentionne ici des livres que j’ai lus sur les sciences et les mathématiques. C’est le premier que je lis de Ian Stewart. Honte à moi, je devrais l’avoir lu il y a longtemps. 17 équations qui ont changé le monde est un petit livre merveilleux qui décrit la beauté des mathématiques. Je crois que c’est à lire absolument.

Donc, comme petit exercice, vous pouvez jeter un œil à ces 17 équations et vérifier combien vous en connaissez. Quel que soit le résultat, je conseille vraiment de lire ce livre! Et si vous ne le faites pas, vous pouvez consulter les réponses ci-dessous …

Et voici donc, les noms des équations et les mathématiciens qui les ont découvertes (ou les ont inventées – en fonction de ce que vous pensez de ce que sont vraiment les maths…)

La beauté des mathématiques

Chaque année, j’essaie de transmettre ce que je crois être la beauté des mathématiques lorsque j’enseigne l’optimisation convexe à l’EPFL. J’ai déjà mentionné sur ce blog quelques beaux livres de vulgarisation sur le sujet. Quelques lectures récentes m’ont convaincu encore plus et laissez moi essayer de vous convaincre également.

Alain Badiou est un choix assez surprenant pour parler de mathématiques, mais j’aime ce qu’il a récemment écrit: « Ce sentiment quasi esthétique des mathématiques m’a frappé très tôt. […] Je pense à la droite d’Euler. On montrait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, c’était déjà beau. Puis que les trois médiatrices l’étaient aussi, en un point O, de mieux en mieux ! Enfin que les trois médianes l’étaient également, en un point G ! Formidable. Mais alors, avec un air mystérieux, le professeur nous indiquait que l’on pouvait démontrer comme l’avait fait le génial mathématicien Euler, que ces points H, O, G étaient en plus tous les trois sur une même droite, qu’on appelle évidemment la droite d’Euler ! C’était si inattendu, si élégant, cet alignement de trois points fondamentaux, comme comportement des caractéristiques d’un triangle ! […] Il y a cette idée d’une découverte véritable, d’un résultat surprenant au prix d’un cheminement parfois un peu difficile à suivre, mais où l’on est récompensé. J’ai souvent comparé plus tard les mathématiques à la promenade en montagne : la marche d’approche est longue et pénible, avec beaucoup de tournant, de raidillons, on croit être arrivé, mais il reste encore un tournant… On sue, on peine, mais quand on arrive au col, la récompense est sans égale, vraiment : ce saisissement, cette beauté finale des mathématiques, cette beauté sûrement conquise, absolument singulière. » [Pages 11-12]

Une autre source d’inspiration est Proofs_from_THE_BOOK (Raisonnements divins). Ecrit en hommage à Paul Erdös, le livre commence par les deux pages ci-dessus. « Paul Erdös aimait parler du Livre, dans lequel Dieu maintient les preuves parfaites des théorèmes mathématiques, suivant le dicton de G. H. Hardy qu’il n’y a pas de place durable pour la laideur dans les mathématiques. Erdös avait également déclaré que vous n’avez pas besoin de croire en Dieu mais, en tant que mathématicien, vous devriez croire au Livre. […] Nous n’avons aucune définition ou caractérisation de ce qui constitue une preuve du Livre: tout ce que nous offrons ici sont les exemples que nous avons sélectionnés, en espérant que nos lecteurs partageront notre enthousiasme pour des idées brillantes, des idées intelligentes et de merveilleuses observations ».

Il m’arrive d’essayer de me souvenir des démonstrations les plus belles que j’ai « ressenties » depuis mes années de lycéen.

– La plus lumineuse, la démonstration par Gauss de la somme des n premiers entiers.

– Deux démonstrations du théorème de Pythagore.

– Il y en aurait beaucoup d’autres comme l’infinité des nombres premiers, le développpement en série de ∏ (), la très belle conception de la dualité pour les ensembles convexes (vous pouvez regarder un ensemble à travers ses points « interieurs » ou à travers l’enveloppe duale « extérieure » faite de ses tangentes).

– Mais la plus fascinante pour moi, reste l’utilisation de la Diagonale de Cantor:

[De Wikipedia:]

Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0,1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0,1[, un élément de [0,1[ n’appartenant pas à D.

Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l’aide d’une suite r = (r1, r2, r3, … ). Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule (éventuellement une infinité de zéros pour un nombre décimal), soit :

ri = 0, ri1 ri2rin

On construit maintenant un nombre réel x dans [0,1[ en considérant le n-ième chiffre après la virgule de rn. Par exemple, pour la suite r :

r1 = 0, 0 1 0 5 1 1 0 …
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 …
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 …
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 …
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 …
r6 = 0, 9 9 3 7 8 1 8 …
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 0

Le nombre réel x est construit par la donnée de ses décimales suivant la règle : si la n-ième décimale de rn est différente de 1, alors la n-ième décimale de x est 1, sinon la n-ième est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus, la règle donne x = 0, 1 2 1 1 1 2 1 …

Le nombre x est clairement dans l’intervalle [0, 1[ mais ne peut pas être dans la suite ( r1, r2, r3, … ), car il n’est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r1 car la première décimale de x est différente de celle de r1, de même pour r2 en considérant la deuxième décimale, etc.

La non-unicité de l’écriture décimale pour les décimaux non nuls (deux écritures sont possibles pour ces nombres, l’une avec toutes les décimales valant 0 sauf un nombre fini, l’autre avec toutes les décimales valant 9 sauf un nombre fini) n’est pas un écueil au raisonnement précédent car le nombre x n’est pas décimal, puisque son écriture décimale est infinie et ne comporte que les chiffres 1 et 2.

Je vais terminer par une dernier extrait de Badiou (page 82): « J’appelle vérités (toujours au pluriel, il n’y a pas la « vérité ») des créations singulières à valeur universelle : œuvres d’art, théories scientifiques, politiques d’émancipation, passions amoureuses. Disons pour couper au plus court : les théories scientifiques sont des vérités concernant l’être lui-même (les mathématiques) ou les lois « naturelles » des mondes dont nous pouvons avoir une connaissance expérimentale (physique et biologie). Les vérités politiques concernent l’agencement des sociétés, les lois de la vie collective et de sa réorganisation, tout cela à la lumière de principes universels, comme la liberté, et aujourd’hui, principalement, l’égalité. Les vérités artistiques se rapportent à la consistance formelle d’œuvres finies qui subliment ce que nos sens peuvent recevoir : musique pour l’ouïe, peinture et sculpture pour la vision, poésie pour la parole… Enfin, les vérités amoureuses portent sur la puissance dialectique contenue dans le fait d’expérimenter le monde non à partir de l’Un, de la singularité individuelle, mais à partir du Deux, et donc dans une acceptation radicale de l’autre. Ces vérités ne sont pas, on le voit, de provenance ou de nature philosophique. Mais mon but est de sauver la catégorie (philosophique) de vérité qui les distingue et les nomme, en légitimant qu’une vérité puisse être :
-absolue, tout en étant une construction localisée,
-éternelle, tout en résultant d’un processus qui commence dans un monde déterminé et appartient donc au temps de ce monde. »

Alexandre Grothendieck, 1928 – 2014

Quels liens y a-t-il entre Andrew Grove (l’article précédent) et Alexandre Grothendieck? Au delà d’initiales communes, d’une jeunesse similaire (naissance dans l’Europe de l’Est communiste qu’ils ont quittée pour faire carrière à l’Ouest) et d’être devenus des icônes de leur monde, il y a simplement qu’ils représentent mes deux passions professionnelles: les start-up et la mathématique. La comparaison s’arrête là, sans doute, mais j’y reviendrai plus bas.

Deux livres ont été publié en janvier 2016 sur la vie de ce génie: Alexandre Grothendieck – sur les traces du dernier génie des mathématiques par Philippe Douroux et Algèbre – éléments de la vie d’Alexandre Grothendieck de Yan Pradeau. Si vous aimez les mathématiques (je devrais dire la mathématique) ou même si vous ne l’aimez pas, lisez ces biographies.

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Je connaissais comme beaucoup l’itinéraire atypique de cet apatride, devenu grande figure de la mathématique dont il obtint la médaille Fields en 1966 et qui décida de vivre en reclus du monde pendant plus de 25 ans dans un petit village proche des Pyrénées jusqu’à son décés en 2014. Je dois aussi avouer que j’ignorais tout de son travail. La lecture de ces deux très jolis livers me montre que je n’étais pas le seul, tant Grothendieck avait exploré des contrées que peu de mathématiciens ont pu suivre. J’ai aussi découvert les anecdotes suivantes:
– à 11 ans, il calcule la circonférence du cercle et en déduit que π vaut 3,
– plus tard, il reconstruit la théorie de la mesure de Lebesgue. Il n’a pas 20 ans,
– un nombre premier est à son nom, 57, qui vaut pourtant 3 x 19.
Oui, cela vaut la peine de découvrir la vie de cet illustre mathématicien.

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La raison du lien que je fait entre Grove et Grothendieck est en fait assez ténue. Elle vient de cette citation: « il y a seulement deux véritables visionnaires dans l’histoire de la Silicon Valley. Jobs et Noyce. Leur vision était de construire de grandes entreprises … Steve avait vingt ans, aucun diplôme, certaines personnes disaient qu’il ne se lavait pas, et il ressemblait à Hô Chi Minh. Mais c’était une personnalité brillante, et c’est un homme brillant maintenant … Succès phénoménal de la jeunesse … Bob était une de ces personnes qui pouvait prendre du recul parce qu’il était excessivement rationnel. Steve ne le pouvait pas. Il était très, très passionné, très compétitif. » Grove était proche de Noyce à plus d’un titre, et extrémement rationnel et trouvait même Noyce trop peu rigoureux. Grothendieck pourrait être rapproché de Jobs. Hippie, passionné et aussi d’une certaine manière autodidacte. La réussite peut venir de personnalités si diverses.

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Dernier point commun ou peut-être une différence. La migration. Grove est devenu un pur américain. Grothendieck fut un éternel apatride, malgré son passeport français. Mais tous les deux montrent son importance. La Silicon Valley regorge de migrants. J’en parle souvent ici. On sait moins que ce que l’on appelle « l’école française des mathématiques » a aussi ses migrants. Si vous allez sur la page wikipedia de la Médaille Fields, vous pourrez lire:

Dix « médaillés Fields » sont d’anciens élèves de l’École normale supérieure : Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), René Thom (1958), Alain Connes (1982), Pierre-Louis Lions (1994), Jean-Christophe Yoccoz (1994), Laurent Lafforgue (2002), Wendelin Werner (2006), Cédric Villani (2010) et Ngô Bảo Châu (2010). Ceci ferait de « Ulm » la deuxième institution au palmarès après « Princeton », si le classement portait sur l’établissement d’origine des médaillés et non le lieu d’obtention. Concernant le pays d’origine, on aboutit à un total de quinze médaillés Fields issus de laboratoires français, ce qui pourrait placer la France en tête des nations formatrices de ces éminents mathématiciens.

Mais outre Grothendieck, l’apatride, Pierre Deligne, le belge, fit sa thèse avec lui, Wendelin Werner fut naturalisé à l’âge de 9 ans, Ngô Bảo Châu l’année ou il reçut la Médaille Fields, après avoir fait toutes ses études supérieures en France, et Artur Ávila est brésilien et français… On pourrait parler de l’Internationale de la Mathématique, ce qui n’aurait peut-être pas déplu à Alexandre Grothendieck.