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Ce que nous ne saurons jamais

C’est le troisième livre que je lis de Marcus du Sautoy. Après la Symphonie des nombres premiers et La symétrie ou les maths au clair de lune, voici Ce que nous ne saurons jamais.

Sept frontières de la connaissance selon du Sautoy: l’aléatoire et le chaos, la physique des particules et l’infiniment petit, la physique quantique et l’espace, l’univers et l’infiniment grand, le temps et la gravité, la conscience, la/les mathématique(s).

Pour l’illustrer, voici deux courts extraits:

Du Sautoy demande ce qu’est le B. dans Benoit B. Mandelbrot et la réponse est Benoit B. Mandelbrot. Joli!

Et tout aussi joli sur la « pureté des disciplines » traduit de xkcd.com

Si vous aimez la/les science(s) ou la/les mathématique(s), un incontournable!

Claude Shannon, un mathématicien honorable?

A Mind at Play est un livre très intéressant pour plusieurs raisons. Le sous-titre « Comment Claude Shannon a inventé l’ère de l’information » en est une raison. C’est une belle biographie d’un mathématicien dont la vie et la production ne sont pas si connues. Et qu’est-ce que l’information? Je vous invite à lire ces 281 pages ou si vous êtes trop paresseux ou occupé, au moins la page sur Shannon sur Wikipedia.

Ce sur quoi je me concentre ici, c’est la tension permanente entre les mathématiques et l’ingénierie, entre (ce que les gens aiment parfois opposer) les mathématiques pures et appliquées. Les mathématiques pures seraient honorables, les mathématiques appliquées ne le seraient pas, si nous admettons qu’il existe une mathématique pure ou appliquée. Alors laissez-moi extraire quelques courts passages éclairants.

Le mathématicien typique n’est pas le genre d’homme à mener un projet industriel. Il est un rêveur, pas très intéressé par les choses ou les dollars pour lesquels elles peuvent être vendues. Il est perfectionniste, ne veut pas faire de compromis; idéalise jusqu’à l’impraticabilité; est tellement préoccupé par l’horizon lointain qu’il ne peut pas garder son œil sur la balle. [Page 69]

Dans le chapitre 18, intitulé Mathematical Intentions, Honorable and Otherwise, les auteurs creusent plus encore: [Le mathématicien] professe avant tout la fidélité au monde «austère et souvent aberrant» des mathématiques pures. Si les mathématiques appliquées se préoccupent de questions concrètes, les mathématiques pures existent pour elles-mêmes. Ses questions cardinales ne sont pas: «Comment crypter une conversation téléphonique?» Mais plutôt «Y a-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux?» Ou «Chaque affirmation mathématique vraie a t-elle une preuve?» Le divorce entre les deux écoles a des origines anciennes. L’historien Carl Boyer le fait remonter à Platon, qui considérait le calcul comme convenable pour un marchand ou un général, qui «doit apprendre l’art des nombres sinon il ne sait pas comment répartir ses troupes». Mais le philosophe doit étudier les mathématiques supérieures ». Parce qu’il doit sortir du vaste océan du changement et s’emparer de l’être véritable. « Euclide, le père de la géométrie, était encore plus snob ». Il y a une légende sur lui quand un de ses étudiants demanda quel usage avait l’étude de la géométrie, Euclide avait demandé à son esclave d’accorder trois pence à l’étudiant, «puisqu’il doit profiter de ce qu’il apprend».
Plus proche de notre époque, le mathématicien G. H. Hardy écrirait au début du vingtième siècle ce qui devint le texte fondateur des mathématiques pures. L’Apologie d’un mathématicien est un «manifeste pour les mathématiques», qui a emprunté son titre à l’argument de Socrate face aux charges liée à sa peine capitale. Pour Hardy, l’élégance mathématique était une fin en soi. « La beauté est le premier test », insistait-il. « Il n’y a pas de place permanente dans le monde pour les mathématiques laides ». Un mathématicien n’est donc pas un simple « solutionneur » de problèmes pratiques. Lui, «comme un peintre ou un poète, est un créateur de modèles. Si ses modèles sont plus permanents que les leurs, c’est parce qu’ils sont faits d’idées. » En revanche, les mathématiques appliquées ordinaires étaient «ennuyeuses», «laides», «triviales» et «élémentaires»
Et un (célèbre) lecteur de l’article de Shannon l’a rejeté avec une phrase qui irritèrent les partisans de Shannon pendant des années: «La discussion est suggestive tout au long, plutôt que mathématique, et il n’est pas toujours clair que les intentions mathématiques de l’auteur soient honorables. » [Pages 171-2]

Cela me rappelle un autre grand livre que j’ai lu l’an dernier, mathematics without apologies, avec un chapitre intitulé « Not Merely Good, True and Beautiful ». Shannon était un « tinkerer » (un bricoleur), un terme que j’ai découvert quand j’ai lu la biographie de Noyce, un autre bricoleur brillant. C’était un bricoleur brillant et c’était un mathématicien brillant. Il avait lui-même de fortes opinions sur la qualité de la recherche scientifique (pure ou appliquée – qui se soucie vraiment?): nous devons maintenir notre propre maison en première classe. Le sujet de la théorie de l’information a certainement été vendu, sinon survendu. Nous devrions maintenant nous intéresser à la recherche et au développement au plus haut niveau scientifique que nous puissions maintenir. La recherche plutôt que l’exposition est la note maîtresse, et nos seuils critiques devraient être relevés. Les auteurs ne doivent soumettre leurs meilleurs efforts qu’après des critiques précises d’eux-mêmes et de leurs collègues. Quelques articles de recherche de premier ordre sont préférables à un grand nombre d’articles mal conçus ou à moitié finis. Ces derniers ne sont pas à mettre au crédit de leurs auteurs et une perte de temps pour leur lecteur. [Page 191]

Un bricoleur de génie comme le montre la video qui suit…

et semble-t-il concepteur du (ou d’un des) premier ordinateur qui jouait aux échecs. C’était un jongleur et un monicycliste…

Dans le chapitre Constructive Dissatisfaction, le sujet est l’intelligence. Il faut du talent et de la formation, mais aussi de la curiosité et même de l’insatisfaction: pas le type d’insatisfaction dépressive (dont, sans la mentionner, il avait vécu sa juste part), mais plutôt une « insatisfaction constructive », ou « une légère irritation quand les choses ne semblent pas aller comme il faut ». C’était au moins une image rafraîchissante et non sentimentale du génie: un génie est simplement quelqu’un qui est irrité utilement. Il avait aussi proposé une description de sis stratégies pour trouver une solution aux problèmes: simplifier, encercler, reformuler, analyser, inverser et étendre. Vous aurez besoin de lire le chapitre, pages 217-20.

Il était aussi un bon investisseur. En fait, il était proche de fondateurs de startups et avait un accès privilégié à des gens comme Bill Harrison (Harrison Laboratories) et Henry Singleton (Teledyne) et bien qu’il ait utilisé ses connaissances pour analyser les marchés boursiers voici ce qu’il a à dire sur les investissements: Beaucoup de gens regardent le prix des actions, quand ils devraient regarder les fondamentaux d’une entreprise et ses revenus. il y a beaucoup de problèmes liés à la prédiction des processus stochastiques, par exemple les bénéfices des entreprises … Mon sentiment général est qu’il est plus facile de choisir des entreprises qui vont réussir que de prédire des variations à court terme, des choses qui durent seulement des semaines ou des mois, dont ils s’inquiètent au Wall Street Week. Il y a beaucoup plus de hasard là-bas et il se passe des choses que vous ne pouvez pas prédire, ce qui amène les gens à vendre ou à acheter beaucoup d’actions. Au point de répondre à la question de la meilleure théorie de l’information pour l’investissement, « l’information des initiés. » [Page 241-2]

Un génie, un homme sage, un mathématicien honorable!

8 mars – Journée internationale des femmes

Sur le point de donner mon cours d’optimisation ce matin, je viens de me rappeler qu’une seule femme a obtenu la médaille Fields. C’était en 2014. Malheureusement, elle est morte d’un cancer l’année dernière.

Maryam Mirzakhani (3 mai 1977 – 14 juillet 2017) est devenue la première iranienne et la première et seule femme à remporter la médaille Fields.

Permettez-moi d’ajouter que dans le domaine de l’optimisation, apparemment, une seule femme a reçu le prix Dantzig, Eva Tardos.

Je dois admettre que je n’ai pas pris le temps de penser à un nom similaire pour les startups et l’innovation. Commentaires bienvenus …

Les mathématiques à nouveau: inattendues, inévitables et économiques

« La libertad es como un número primo. » Roberto Bolaño, Los Detectives Salvajes

mathematics without apologies de Michael Harris, je l’ai dit ailleurs, est une lecture incontournable si vous êtes intéressé par les mathématiques. Et probablement encore plus, si vous ne l’êtes pas. Mais encore une fois, ce n’est pas une lecture facile.

Après la déclaration dans son chapitre 3 selon laquelle les mathématiques n’étaient « pas mêmes utiles, vraies ou belles », Harris poursuit avec des arguments provocateurs et judicieux sur les relations que les mathématiques ont avec l’argent (Chapitre 4 – Megaloprepeia), avec le corps (Chapitre 6 – D’autres recherches sur le problème corps-esprit), avec les fondations (Chapitre 7 – L’habitude de s’accrocher à un terrain ultime) et même avec les astuces (Chapitre 8 – La science des astuces), et finalement Harris revient aux Apologies après un chapitre personnel sur l’inspiration et le travail (Chapitre 9 – Un rêve mathématique et son interprétation).

L’auteur m’a fait découvrir, honte sur moi, que «apologie» ne signifie pas que « éloge », mais aussi « excuse » ou « défense ». Difficulté et confusion du vocabulaire, un thème récurrent du livre de Harris. Permettez-moi d’être tout à fait clair à nouveau. Je n’ai pas tout compris dans ce livre et j’ai imaginé que Harris aurait pu créer un nouvel indice: comme vous le savez peut-être si vous lisez mon blog, je mentionne des indices de temps en temps, comme l’indice Erdős, l’indice Tesla; ce nouvel indice pourrait être 0 pour les géants ou les supergéants des mathématiques, les humains qui pourraient recevoir la Médaille Fields, le Prix Abel ou équivalent, 1 pour ceux qui peuvent comprendre (tout) ce qui a été écrit en mathématiques par ceux qui ont l’indice 0; puis 2, pour ceux qui peuvent comprendre (tout) qui a été écrit en mathématiques par ceux ont l’indic 1, etc… Je ne sais pas où l’index s’arrêterait et peut-être qu’il existe déjà … J’aimerais croire que je suis au niveau 3 quand j’ai fait la découverte au sujet de « apologie », « éloge », « excuses », je me suis remis au niveau 5 …

Harris va encore plus loin que Hardy avec ses « No apologies », même s’il le cite: L’ironie n’a pas dit son dernier mot sur l’utilité [de la science], même si l’utilité est comprise, d’après Hardy, comme ce qui « tend à accentuer les inégalités existantes dans la répartition de la richesse » [Page 296]. Je pense que Harris a écrit un livre très utile sur les mathématiques. J’ajoute une autre citation sur la nature de la beauté mathématique: «il existe un très haut degré d’inattendu, combiné à l’inévitabilité et à l’économie» [Page 307].

En cherchant plus d’informations sur Harris, j’ai trouvé sa page Web qui commence par la citation que je donne plus haut de Bolaño. Quand j’ai découvert Bolaño il y a quelques années, ce fut un tel choc que j’ai lu tout ce que j’ai pu trouver. Encore une fois sans comprendre tout. Mais si vous lisez le chapitre 9 de Harris, vous lirez que « ne pas comprendre tout » peut ne pas être important, en comparaison de l’impact que la confusion (apparente) peut susciter…

PS: J’aurais pu ajouter que pendant que je lisais Harris a émergé uen controverse quant à une nouvelle solution du problème P vs. NP. Plus d’informations dans un pdf détaillé et sur le blog de son auteur. J’aurais également dû mentionner le programme de Langlands et Alexandre Grothendieck, que j’ai par ailleurs mentionné ici. Mais le livre de Harris est tellement foisonnant…

Les mathématiques – pas mêmes utiles, vraies ou belles

« Ce ne sont pas les billes qui comptent. C’est le jeu. » Proverbe néerlandais

« En mathématiques, l’art de poser une question doit être considéré d’une valeur supérieure à celle de la résoudre. » Cantor

Les mathématiques peuvent être simples, voire évidentes; et belles, et même utiles. Il suffit de lire mon article précédent sur les 17 équations qui ont changé le monde d’Ian Stewart qui ont changé le monde. Mais il y a d’autres points de vue plus provocateurs. Il suffit de lire mathematics without apologies de Michael Harris.

Harris n’est certainement pas aussi facile à lire que Stewart. Mais c’est aussi (peut-être plus) enrichissant. Son chapitre 3, par exemple, est intitulé Not Merely Good, True and Beautiful (pas mêmes utiles, vraies ou belles). Dans ce monde de pression croissante pour justifier l’utilité de la science, l’auteur contre-attaque. « Il existe maintenant une vaste littérature sur les pressions exercées sur les laboratoires universitaires. Ces livres ignorent en général les mathématiques, où les enjeux ne sont pas aussi élevés et les possibilités d’applications commerciales limitées, en particulier dans les mathématiques pures ». [Page 55]

Mais même la Vérité semble être en jeu. « Si l’on pense vraiment profondément à la possibilité que les fondements des mathématiques soient incohérents, cela est extrêmement troublant pour tout esprit rationnel » [Voevodsky cité à la page 58] et quelques lignes avant « Bombieri a rappelé les préoccupations concernant la cohérence, la fiabilité et la véracité des mathématiques qui ont surgi pendant la crise des fondations et a fait allusion au statut ambigu des preuves informatiques et des preuves trop-longues ».

Enfin, Harris mentionne une certaine confusion au sujet de la beauté citant Villani: « L’aspect artistique de notre discipline est [si] évident » que nous ne voyons pas comment quelqu’un pourrait le manquer… ajoutant immédiatement que « ce qui fait généralement progresser un mathématicien est le désir de produire quelque chose de beau ». Harris cite alors un expert en art qui conseille aux amateurs de musées de « laisser aller [leurs] idées préconçues selon lesquelles l’art doit être beau ». [Page 63]

Harris ajoute que « l’utilité des applications pratiques, la garantie de la certitude absolue et la vision des mathématiques en tant que forme d’art – l’utile, le vrai et le beau, en résumé- ont l’avantage de tendre la main avec des associations pratiques alors que nous devrions garder à l’esprit que ce que vous êtes prêt à voir comme utile dépend de votre point de vue, et que d’autre part, le vrai et le beau peuvent eux-mêmes être considérés comme des utilités. » [Pages 63-4]

La réponse brève à la question du «pourquoi» va être que les mathématiciens s’engagent dans les mathématiques parce qu’elles nous plaisent. [Page 68]

Peut-être plus dans un autre article…

Au lieu d’une autre publication, voici une courte section extraite de la page 76 et ajoutée le 27 août:

Les parallèles entre mathématique et art

« Ici, le parallèle présumé mais largement infondé entre les mathématiques et les arts offre une clarté inattendue. Quiconque veut inclure les mathématiques parmi les arts doit accepter l’ambiguïté qui vient avec ce statut et avec les différentes perspectives implicites dans différentes façons de parler de l’art. Six de ces points de vue sont particulièrement pertinents: les champs sémantiques changeants que le mot art a historiquement désignés; les tentatives des philosophes de définir l’art, par exemple, en le subordonnant à la notion (largement dépassée) de la beauté ou à fonder (« ground ») l’éthique dans l’esthétique, comme dans les Principia Ethica de G. E. Moore, qui, par l’intermédiaire de l’Apologie de Hardy, continue d’influencer les mathématiciens; l’attitude sceptique de ceux, comme Pierre Bourdieu, qui voit le goût artistique comme affirmation de la distinction sociale; les institutions du monde de l’art, dont les représentants réfléchissent sur eux-mêmes dans les les entretiens de Muntadas; l’expérience créative personnelle des artistes dans le cadre de la tradition artistique; et l’existence irréductible et (habituellement) matérielle des œuvres d’art elles-mêmes.
De façon pratique, chacune de ces six approches de l’art a une contrepartie mathématique: les cognats (mots apparentés) du mot mathématiques lui-même, dérivent du mot grec mathesis, qui signifie simplement « apprentissage », et dont le sens s’est développé et contracté à plusieurs reprises au cours des millénaires et d’une culture à une autre, y compris celles qui n’avaient aucune affinité particulière pour la racine grecque; les mathématiques des philosophes des écoles « encyclopédistes »; les mathématiques scolaires dans leur rôle de filtre social et professionnel; Les institutions sociales des mathématiques avec leur complexité interne et des interactions non moins complexes avec d’autres institutions sociales et politiques; l’expérience créative personnelle du mathématicien dans le cadre de la tradition (le dialogue sans fin avec les géants et les super-géants des listes d’IBM et autres); et l’existence irréductible et (habituellement) immatérielle des théorèmes, des définitions et d’autres notions mathématiques. »

A suivre peut-être…

Que savez-vous des mathématiques, et les aimez-vous?

En hommage à Maryam Mirzakhani

De temps en temps, je mentionne ici des livres que j’ai lus sur les sciences et les mathématiques. C’est le premier que je lis de Ian Stewart. Honte à moi, je devrais l’avoir lu il y a longtemps. 17 équations qui ont changé le monde est un petit livre merveilleux qui décrit la beauté des mathématiques. Je crois que c’est à lire absolument.

Donc, comme petit exercice, vous pouvez jeter un œil à ces 17 équations et vérifier combien vous en connaissez. Quel que soit le résultat, je conseille vraiment de lire ce livre! Et si vous ne le faites pas, vous pouvez consulter les réponses ci-dessous …

Et voici donc, les noms des équations et les mathématiciens qui les ont découvertes (ou les ont inventées – en fonction de ce que vous pensez de ce que sont vraiment les maths…)

La beauté des mathématiques

Chaque année, j’essaie de transmettre ce que je crois être la beauté des mathématiques lorsque j’enseigne l’optimisation convexe à l’EPFL. J’ai déjà mentionné sur ce blog quelques beaux livres de vulgarisation sur le sujet. Quelques lectures récentes m’ont convaincu encore plus et laissez moi essayer de vous convaincre également.

Alain Badiou est un choix assez surprenant pour parler de mathématiques, mais j’aime ce qu’il a récemment écrit: « Ce sentiment quasi esthétique des mathématiques m’a frappé très tôt. […] Je pense à la droite d’Euler. On montrait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, c’était déjà beau. Puis que les trois médiatrices l’étaient aussi, en un point O, de mieux en mieux ! Enfin que les trois médianes l’étaient également, en un point G ! Formidable. Mais alors, avec un air mystérieux, le professeur nous indiquait que l’on pouvait démontrer comme l’avait fait le génial mathématicien Euler, que ces points H, O, G étaient en plus tous les trois sur une même droite, qu’on appelle évidemment la droite d’Euler ! C’était si inattendu, si élégant, cet alignement de trois points fondamentaux, comme comportement des caractéristiques d’un triangle ! […] Il y a cette idée d’une découverte véritable, d’un résultat surprenant au prix d’un cheminement parfois un peu difficile à suivre, mais où l’on est récompensé. J’ai souvent comparé plus tard les mathématiques à la promenade en montagne : la marche d’approche est longue et pénible, avec beaucoup de tournant, de raidillons, on croit être arrivé, mais il reste encore un tournant… On sue, on peine, mais quand on arrive au col, la récompense est sans égale, vraiment : ce saisissement, cette beauté finale des mathématiques, cette beauté sûrement conquise, absolument singulière. » [Pages 11-12]

Une autre source d’inspiration est Proofs_from_THE_BOOK (Raisonnements divins). Ecrit en hommage à Paul Erdös, le livre commence par les deux pages ci-dessus. « Paul Erdös aimait parler du Livre, dans lequel Dieu maintient les preuves parfaites des théorèmes mathématiques, suivant le dicton de G. H. Hardy qu’il n’y a pas de place durable pour la laideur dans les mathématiques. Erdös avait également déclaré que vous n’avez pas besoin de croire en Dieu mais, en tant que mathématicien, vous devriez croire au Livre. […] Nous n’avons aucune définition ou caractérisation de ce qui constitue une preuve du Livre: tout ce que nous offrons ici sont les exemples que nous avons sélectionnés, en espérant que nos lecteurs partageront notre enthousiasme pour des idées brillantes, des idées intelligentes et de merveilleuses observations ».

Il m’arrive d’essayer de me souvenir des démonstrations les plus belles que j’ai « ressenties » depuis mes années de lycéen.

– La plus lumineuse, la démonstration par Gauss de la somme des n premiers entiers.

– Deux démonstrations du théorème de Pythagore.

– Il y en aurait beaucoup d’autres comme l’infinité des nombres premiers, le développpement en série de ∏ (), la très belle conception de la dualité pour les ensembles convexes (vous pouvez regarder un ensemble à travers ses points « interieurs » ou à travers l’enveloppe duale « extérieure » faite de ses tangentes).

– Mais la plus fascinante pour moi, reste l’utilisation de la Diagonale de Cantor:

[De Wikipedia:]

Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0,1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0,1[, un élément de [0,1[ n’appartenant pas à D.

Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l’aide d’une suite r = (r1, r2, r3, … ). Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule (éventuellement une infinité de zéros pour un nombre décimal), soit :

ri = 0, ri1 ri2rin

On construit maintenant un nombre réel x dans [0,1[ en considérant le n-ième chiffre après la virgule de rn. Par exemple, pour la suite r :

r1 = 0, 0 1 0 5 1 1 0 …
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 …
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 …
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 …
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 …
r6 = 0, 9 9 3 7 8 1 8 …
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 0

Le nombre réel x est construit par la donnée de ses décimales suivant la règle : si la n-ième décimale de rn est différente de 1, alors la n-ième décimale de x est 1, sinon la n-ième est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus, la règle donne x = 0, 1 2 1 1 1 2 1 …

Le nombre x est clairement dans l’intervalle [0, 1[ mais ne peut pas être dans la suite ( r1, r2, r3, … ), car il n’est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r1 car la première décimale de x est différente de celle de r1, de même pour r2 en considérant la deuxième décimale, etc.

La non-unicité de l’écriture décimale pour les décimaux non nuls (deux écritures sont possibles pour ces nombres, l’une avec toutes les décimales valant 0 sauf un nombre fini, l’autre avec toutes les décimales valant 9 sauf un nombre fini) n’est pas un écueil au raisonnement précédent car le nombre x n’est pas décimal, puisque son écriture décimale est infinie et ne comporte que les chiffres 1 et 2.

Je vais terminer par une dernier extrait de Badiou (page 82): « J’appelle vérités (toujours au pluriel, il n’y a pas la « vérité ») des créations singulières à valeur universelle : œuvres d’art, théories scientifiques, politiques d’émancipation, passions amoureuses. Disons pour couper au plus court : les théories scientifiques sont des vérités concernant l’être lui-même (les mathématiques) ou les lois « naturelles » des mondes dont nous pouvons avoir une connaissance expérimentale (physique et biologie). Les vérités politiques concernent l’agencement des sociétés, les lois de la vie collective et de sa réorganisation, tout cela à la lumière de principes universels, comme la liberté, et aujourd’hui, principalement, l’égalité. Les vérités artistiques se rapportent à la consistance formelle d’œuvres finies qui subliment ce que nos sens peuvent recevoir : musique pour l’ouïe, peinture et sculpture pour la vision, poésie pour la parole… Enfin, les vérités amoureuses portent sur la puissance dialectique contenue dans le fait d’expérimenter le monde non à partir de l’Un, de la singularité individuelle, mais à partir du Deux, et donc dans une acceptation radicale de l’autre. Ces vérités ne sont pas, on le voit, de provenance ou de nature philosophique. Mais mon but est de sauver la catégorie (philosophique) de vérité qui les distingue et les nomme, en légitimant qu’une vérité puisse être :
-absolue, tout en étant une construction localisée,
-éternelle, tout en résultant d’un processus qui commence dans un monde déterminé et appartient donc au temps de ce monde. »

Alexandre Grothendieck, 1928 – 2014

Quels liens y a-t-il entre Andrew Grove (l’article précédent) et Alexandre Grothendieck? Au delà d’initiales communes, d’une jeunesse similaire (naissance dans l’Europe de l’Est communiste qu’ils ont quittée pour faire carrière à l’Ouest) et d’être devenus des icônes de leur monde, il y a simplement qu’ils représentent mes deux passions professionnelles: les start-up et la mathématique. La comparaison s’arrête là, sans doute, mais j’y reviendrai plus bas.

Deux livres ont été publié en janvier 2016 sur la vie de ce génie: Alexandre Grothendieck – sur les traces du dernier génie des mathématiques par Philippe Douroux et Algèbre – éléments de la vie d’Alexandre Grothendieck de Yan Pradeau. Si vous aimez les mathématiques (je devrais dire la mathématique) ou même si vous ne l’aimez pas, lisez ces biographies.

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Je connaissais comme beaucoup l’itinéraire atypique de cet apatride, devenu grande figure de la mathématique dont il obtint la médaille Fields en 1966 et qui décida de vivre en reclus du monde pendant plus de 25 ans dans un petit village proche des Pyrénées jusqu’à son décés en 2014. Je dois aussi avouer que j’ignorais tout de son travail. La lecture de ces deux très jolis livers me montre que je n’étais pas le seul, tant Grothendieck avait exploré des contrées que peu de mathématiciens ont pu suivre. J’ai aussi découvert les anecdotes suivantes:
– à 11 ans, il calcule la circonférence du cercle et en déduit que π vaut 3,
– plus tard, il reconstruit la théorie de la mesure de Lebesgue. Il n’a pas 20 ans,
– un nombre premier est à son nom, 57, qui vaut pourtant 3 x 19.
Oui, cela vaut la peine de découvrir la vie de cet illustre mathématicien.

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La raison du lien que je fait entre Grove et Grothendieck est en fait assez ténue. Elle vient de cette citation: « il y a seulement deux véritables visionnaires dans l’histoire de la Silicon Valley. Jobs et Noyce. Leur vision était de construire de grandes entreprises … Steve avait vingt ans, aucun diplôme, certaines personnes disaient qu’il ne se lavait pas, et il ressemblait à Hô Chi Minh. Mais c’était une personnalité brillante, et c’est un homme brillant maintenant … Succès phénoménal de la jeunesse … Bob était une de ces personnes qui pouvait prendre du recul parce qu’il était excessivement rationnel. Steve ne le pouvait pas. Il était très, très passionné, très compétitif. » Grove était proche de Noyce à plus d’un titre, et extrémement rationnel et trouvait même Noyce trop peu rigoureux. Grothendieck pourrait être rapproché de Jobs. Hippie, passionné et aussi d’une certaine manière autodidacte. La réussite peut venir de personnalités si diverses.

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Dernier point commun ou peut-être une différence. La migration. Grove est devenu un pur américain. Grothendieck fut un éternel apatride, malgré son passeport français. Mais tous les deux montrent son importance. La Silicon Valley regorge de migrants. J’en parle souvent ici. On sait moins que ce que l’on appelle « l’école française des mathématiques » a aussi ses migrants. Si vous allez sur la page wikipedia de la Médaille Fields, vous pourrez lire:

Dix « médaillés Fields » sont d’anciens élèves de l’École normale supérieure : Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), René Thom (1958), Alain Connes (1982), Pierre-Louis Lions (1994), Jean-Christophe Yoccoz (1994), Laurent Lafforgue (2002), Wendelin Werner (2006), Cédric Villani (2010) et Ngô Bảo Châu (2010). Ceci ferait de « Ulm » la deuxième institution au palmarès après « Princeton », si le classement portait sur l’établissement d’origine des médaillés et non le lieu d’obtention. Concernant le pays d’origine, on aboutit à un total de quinze médaillés Fields issus de laboratoires français, ce qui pourrait placer la France en tête des nations formatrices de ces éminents mathématiciens.

Mais outre Grothendieck, l’apatride, Pierre Deligne, le belge, fit sa thèse avec lui, Wendelin Werner fut naturalisé à l’âge de 9 ans, Ngô Bảo Châu l’année ou il reçut la Médaille Fields, après avoir fait toutes ses études supérieures en France, et Artur Ávila est brésilien et français… On pourrait parler de l’Internationale de la Mathématique, ce qui n’aurait peut-être pas déplu à Alexandre Grothendieck.

Quand la science ressemble à la religion: la théorie qui ne mourrait pas.

Voici le troisième livre que je lis en peu de temps sur les statistiques et c’est probablement le plus étrange. Après mon cher Taleb et son Cygne Noir, après les statistiques plus classiques avec Naked Statistics, voici l’histoire de la statistique bayésienne.

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Si vous ne connaissez pas Bayes, permettez-moi simplement de mentionner sa formule, belle par sa symétrie: [Selon wikipedia]
En théorie des probabilités, le théorème de Bayes énonce des probabilités conditionnelles : étant donné deux évènements A et B, le théorème de Bayes permet de déterminer la probabilité de A sachant B, si l’on connaît les probabilités de A, de B et de B sachant A.
P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)

Je n’ai jamais été vraiment à l’aise avec ses applications. J’avais sans doute tort encore une fois, étant donné tout ce que j’ai appris après la lecture de livre de Sharon Bertsch McGrayne. Mais j’ai aussi compris pourquoi je n’ai jamais été à l’aise: depuis trois siècles, il y a eu une guerre quasi-religieuse entre bayésiens et fréquentistes sur l’utilisation des probabilités. Sont-elles liées aux événements fréquents seulement ou peuvent-elles être appliquées à des événements rares? Quelle est la probabilité d’un événement rare qui peut ne jamais se produire ou peut-être juste une fois?

[Laissez-moi vous donner un exemple personnel: Je suis intéressé par l’entrepreneuriat en série, et j’ai fait et je fais encore des tonnes de statistiques sur les entreprises liées à Stanford. J’ai plus de 5’000 entrepreneurs, et plus de 1’000 sont en série. J’ai des résultats qui montrent que les entrepreneurs en série ne sont pas en moyenne meilleurs que les autres, en utilisant  les méthodes classiques des statistiques. Mais maintenant, je dois penser à utiliser:
P (Réussite | Série) = P (Série | Réussite) P (Réussite) / P (Série)
Je ne sais pas ce qui va en ressortir, mais je devrais essayer!].

Si vous voulez un bon résumé de l’ouvrage, lisez la critique de Andrew I. Daleby (pdf). McGrayne illustre l’histoire «récente» des statistiques et des probabilités par des scientifiques de renom (Laplace) et moins célèbres (Bayes), à travers de histoires célèbres (la machine Enigma et Alan Turing) et moins célèbres (des bombes atomiques perdues dans la nature) et c’est un livre fascinant. Je ne suis pas convaincu qu’il soit bon à expliquer la science, mais la quantité d’anecdotes est impressionnante. Et peut-être qu’il n’est pas question de science en définitive, mais plus de croyance comme cela est mentionné dans le livre: « Swinburne inséra des opinions personnelles à la fois dans les probabilités a priori et dans les données prétendument objectives du théorème de Bayes pour conclure que Dieu avait plus de 50% de chance d’exister; plus tard Swinburne calcula la probabilité de la résurrection de Jésus « à quelque chose comme 97 pour cent » [page 177]. Cela évidemment me rappelle la fameuse citation d’Einstein: « Dieu ne joue pas aux dés avec l’univers. » Ce n’est pas directement lié mais encore une fois, je lisais quelque chose sur les liens entre la science, la religion et les probabilités.

Lorsque l’âge n’empêche pas la créativité: un rare exemple en mathématiques

Je parle rarement ici (mais parfois) de Science ou de Mathématique. Seulement quand cela m’aide à illustrer ce que l’innovation ou la créativité ont en commun, et parfois quand je vois des crises analogues dans ces domaines (voir par exemple mes articles sur Dyson, Thiel, Ségalat ou Smolin). Et il y a un autre point connexe: il est souvent affirmé que les grandes découvertes scientifiques et les projets d’entreprise sont réalisés à un jeune âge.

YitangZhang
Yitang Zhang

Vous n’avez probablement jamais entendu parler de Yitang Zhang qui a stupéfié le monde des mathématiques le mois dernier en ayant résolu un problème vieux de plusieurs siècles. C’est un mathématicien totalement inconnu et plus surprenant, il a (plus de) 50 ans. Pour ceux qui s’intéressent au problème, vous pouvez lire d’abord l’article de Nature First proof that infinitely many prime numbers come in pairs. Fondamentalement, Zhang a prouvé qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la distance est inférieur à un nombre N donné. Les mathématiciens rêvent encore de prouver que N est égal à 2 – la conjecture des nombres premiers jumeaux -, mais Zhang est le premier à prouver que N existe … même si N vaut 70 millions!