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Les mathématiques à nouveau: inattendues, inévitables et économiques

« La libertad es como un número primo. » Roberto Bolaño, Los Detectives Salvajes

mathematics without apologies de Michael Harris, je l’ai dit ailleurs, est une lecture incontournable si vous êtes intéressé par les mathématiques. Et probablement encore plus, si vous ne l’êtes pas. Mais encore une fois, ce n’est pas une lecture facile.

Après la déclaration dans son chapitre 3 selon laquelle les mathématiques n’étaient « pas mêmes utiles, vraies ou belles », Harris poursuit avec des arguments provocateurs et judicieux sur les relations que les mathématiques ont avec l’argent (Chapitre 4 – Megaloprepeia), avec le corps (Chapitre 6 – D’autres recherches sur le problème corps-esprit), avec les fondations (Chapitre 7 – L’habitude de s’accrocher à un terrain ultime) et même avec les astuces (Chapitre 8 – La science des astuces), et finalement Harris revient aux Apologies après un chapitre personnel sur l’inspiration et le travail (Chapitre 9 – Un rêve mathématique et son interprétation).

L’auteur m’a fait découvrir, honte sur moi, que «apologie» ne signifie pas que « éloge », mais aussi « excuse » ou « défense ». Difficulté et confusion du vocabulaire, un thème récurrent du livre de Harris. Permettez-moi d’être tout à fait clair à nouveau. Je n’ai pas tout compris dans ce livre et j’ai imaginé que Harris aurait pu créer un nouvel indice: comme vous le savez peut-être si vous lisez mon blog, je mentionne des indices de temps en temps, comme l’indice Erdős, l’indice Tesla; ce nouvel indice pourrait être 0 pour les géants ou les supergéants des mathématiques, les humains qui pourraient recevoir la Médaille Fields, le Prix Abel ou équivalent, 1 pour ceux qui peuvent comprendre (tout) ce qui a été écrit en mathématiques par ceux qui ont l’indice 0; puis 2, pour ceux qui peuvent comprendre (tout) qui a été écrit en mathématiques par ceux ont l’indic 1, etc… Je ne sais pas où l’index s’arrêterait et peut-être qu’il existe déjà … J’aimerais croire que je suis au niveau 3 quand j’ai fait la découverte au sujet de « apologie », « éloge », « excuses », je me suis remis au niveau 5 …

Harris va encore plus loin que Hardy avec ses « No apologies », même s’il le cite: L’ironie n’a pas dit son dernier mot sur l’utilité [de la science], même si l’utilité est comprise, d’après Hardy, comme ce qui « tend à accentuer les inégalités existantes dans la répartition de la richesse » [Page 296]. Je pense que Harris a écrit un livre très utile sur les mathématiques. J’ajoute une autre citation sur la nature de la beauté mathématique: «il existe un très haut degré d’inattendu, combiné à l’inévitabilité et à l’économie» [Page 307].

En cherchant plus d’informations sur Harris, j’ai trouvé sa page Web qui commence par la citation que je donne plus haut de Bolaño. Quand j’ai découvert Bolaño il y a quelques années, ce fut un tel choc que j’ai lu tout ce que j’ai pu trouver. Encore une fois sans comprendre tout. Mais si vous lisez le chapitre 9 de Harris, vous lirez que « ne pas comprendre tout » peut ne pas être important, en comparaison de l’impact que la confusion (apparente) peut susciter…

PS: J’aurais pu ajouter que pendant que je lisais Harris a émergé uen controverse quant à une nouvelle solution du problème P vs. NP. Plus d’informations dans un pdf détaillé et sur le blog de son auteur. J’aurais également dû mentionner le programme de Langlands et Alexandre Grothendieck, que j’ai par ailleurs mentionné ici. Mais le livre de Harris est tellement foisonnant…

Les mathématiques – pas mêmes utiles, vraies ou belles

« Ce ne sont pas les billes qui comptent. C’est le jeu. » Proverbe néerlandais

« En mathématiques, l’art de poser une question doit être considéré d’une valeur supérieure à celle de la résoudre. » Cantor

Les mathématiques peuvent être simples, voire évidentes; et belles, et même utiles. Il suffit de lire mon article précédent sur les 17 équations qui ont changé le monde d’Ian Stewart qui ont changé le monde. Mais il y a d’autres points de vue plus provocateurs. Il suffit de lire mathematics without apologies de Michael Harris.

Harris n’est certainement pas aussi facile à lire que Stewart. Mais c’est aussi (peut-être plus) enrichissant. Son chapitre 3, par exemple, est intitulé Not Merely Good, True and Beautiful (pas mêmes utiles, vraies ou belles). Dans ce monde de pression croissante pour justifier l’utilité de la science, l’auteur contre-attaque. « Il existe maintenant une vaste littérature sur les pressions exercées sur les laboratoires universitaires. Ces livres ignorent en général les mathématiques, où les enjeux ne sont pas aussi élevés et les possibilités d’applications commerciales limitées, en particulier dans les mathématiques pures ». [Page 55]

Mais même la Vérité semble être en jeu. « Si l’on pense vraiment profondément à la possibilité que les fondements des mathématiques soient incohérents, cela est extrêmement troublant pour tout esprit rationnel » [Voevodsky cité à la page 58] et quelques lignes avant « Bombieri a rappelé les préoccupations concernant la cohérence, la fiabilité et la véracité des mathématiques qui ont surgi pendant la crise des fondations et a fait allusion au statut ambigu des preuves informatiques et des preuves trop-longues ».

Enfin, Harris mentionne une certaine confusion au sujet de la beauté citant Villani: « L’aspect artistique de notre discipline est [si] évident » que nous ne voyons pas comment quelqu’un pourrait le manquer… ajoutant immédiatement que « ce qui fait généralement progresser un mathématicien est le désir de produire quelque chose de beau ». Harris cite alors un expert en art qui conseille aux amateurs de musées de « laisser aller [leurs] idées préconçues selon lesquelles l’art doit être beau ». [Page 63]

Harris ajoute que « l’utilité des applications pratiques, la garantie de la certitude absolue et la vision des mathématiques en tant que forme d’art – l’utile, le vrai et le beau, en résumé- ont l’avantage de tendre la main avec des associations pratiques alors que nous devrions garder à l’esprit que ce que vous êtes prêt à voir comme utile dépend de votre point de vue, et que d’autre part, le vrai et le beau peuvent eux-mêmes être considérés comme des utilités. » [Pages 63-4]

La réponse brève à la question du «pourquoi» va être que les mathématiciens s’engagent dans les mathématiques parce qu’elles nous plaisent. [Page 68]

Peut-être plus dans un autre article…

Au lieu d’une autre publication, voici une courte section extraite de la page 76 et ajoutée le 27 août:

Les parallèles entre mathématique et art

« Ici, le parallèle présumé mais largement infondé entre les mathématiques et les arts offre une clarté inattendue. Quiconque veut inclure les mathématiques parmi les arts doit accepter l’ambiguïté qui vient avec ce statut et avec les différentes perspectives implicites dans différentes façons de parler de l’art. Six de ces points de vue sont particulièrement pertinents: les champs sémantiques changeants que le mot art a historiquement désignés; les tentatives des philosophes de définir l’art, par exemple, en le subordonnant à la notion (largement dépassée) de la beauté ou à fonder (« ground ») l’éthique dans l’esthétique, comme dans les Principia Ethica de G. E. Moore, qui, par l’intermédiaire de l’Apologie de Hardy, continue d’influencer les mathématiciens; l’attitude sceptique de ceux, comme Pierre Bourdieu, qui voit le goût artistique comme affirmation de la distinction sociale; les institutions du monde de l’art, dont les représentants réfléchissent sur eux-mêmes dans les les entretiens de Muntadas; l’expérience créative personnelle des artistes dans le cadre de la tradition artistique; et l’existence irréductible et (habituellement) matérielle des œuvres d’art elles-mêmes.
De façon pratique, chacune de ces six approches de l’art a une contrepartie mathématique: les cognats (mots apparentés) du mot mathématiques lui-même, dérivent du mot grec mathesis, qui signifie simplement « apprentissage », et dont le sens s’est développé et contracté à plusieurs reprises au cours des millénaires et d’une culture à une autre, y compris celles qui n’avaient aucune affinité particulière pour la racine grecque; les mathématiques des philosophes des écoles « encyclopédistes »; les mathématiques scolaires dans leur rôle de filtre social et professionnel; Les institutions sociales des mathématiques avec leur complexité interne et des interactions non moins complexes avec d’autres institutions sociales et politiques; l’expérience créative personnelle du mathématicien dans le cadre de la tradition (le dialogue sans fin avec les géants et les super-géants des listes d’IBM et autres); et l’existence irréductible et (habituellement) immatérielle des théorèmes, des définitions et d’autres notions mathématiques. »

A suivre peut-être…

Que savez-vous des mathématiques, et les aimez-vous?

En hommage à Maryam Mirzakhani

De temps en temps, je mentionne ici des livres que j’ai lus sur les sciences et les mathématiques. C’est le premier que je lis de Ian Stewart. Honte à moi, je devrais l’avoir lu il y a longtemps. 17 équations qui ont changé le monde est un petit livre merveilleux qui décrit la beauté des mathématiques. Je crois que c’est à lire absolument.

Donc, comme petit exercice, vous pouvez jeter un œil à ces 17 équations et vérifier combien vous en connaissez. Quel que soit le résultat, je conseille vraiment de lire ce livre! Et si vous ne le faites pas, vous pouvez consulter les réponses ci-dessous …

Et voici donc, les noms des équations et les mathématiciens qui les ont découvertes (ou les ont inventées – en fonction de ce que vous pensez de ce que sont vraiment les maths…)

La beauté des mathématiques

Chaque année, j’essaie de transmettre ce que je crois être la beauté des mathématiques lorsque j’enseigne l’optimisation convexe à l’EPFL. J’ai déjà mentionné sur ce blog quelques beaux livres de vulgarisation sur le sujet. Quelques lectures récentes m’ont convaincu encore plus et laissez moi essayer de vous convaincre également.

Alain Badiou est un choix assez surprenant pour parler de mathématiques, mais j’aime ce qu’il a récemment écrit: « Ce sentiment quasi esthétique des mathématiques m’a frappé très tôt. […] Je pense à la droite d’Euler. On montrait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, c’était déjà beau. Puis que les trois médiatrices l’étaient aussi, en un point O, de mieux en mieux ! Enfin que les trois médianes l’étaient également, en un point G ! Formidable. Mais alors, avec un air mystérieux, le professeur nous indiquait que l’on pouvait démontrer comme l’avait fait le génial mathématicien Euler, que ces points H, O, G étaient en plus tous les trois sur une même droite, qu’on appelle évidemment la droite d’Euler ! C’était si inattendu, si élégant, cet alignement de trois points fondamentaux, comme comportement des caractéristiques d’un triangle ! […] Il y a cette idée d’une découverte véritable, d’un résultat surprenant au prix d’un cheminement parfois un peu difficile à suivre, mais où l’on est récompensé. J’ai souvent comparé plus tard les mathématiques à la promenade en montagne : la marche d’approche est longue et pénible, avec beaucoup de tournant, de raidillons, on croit être arrivé, mais il reste encore un tournant… On sue, on peine, mais quand on arrive au col, la récompense est sans égale, vraiment : ce saisissement, cette beauté finale des mathématiques, cette beauté sûrement conquise, absolument singulière. » [Pages 11-12]

Une autre source d’inspiration est Proofs_from_THE_BOOK (Raisonnements divins). Ecrit en hommage à Paul Erdös, le livre commence par les deux pages ci-dessus. « Paul Erdös aimait parler du Livre, dans lequel Dieu maintient les preuves parfaites des théorèmes mathématiques, suivant le dicton de G. H. Hardy qu’il n’y a pas de place durable pour la laideur dans les mathématiques. Erdös avait également déclaré que vous n’avez pas besoin de croire en Dieu mais, en tant que mathématicien, vous devriez croire au Livre. […] Nous n’avons aucune définition ou caractérisation de ce qui constitue une preuve du Livre: tout ce que nous offrons ici sont les exemples que nous avons sélectionnés, en espérant que nos lecteurs partageront notre enthousiasme pour des idées brillantes, des idées intelligentes et de merveilleuses observations ».

Il m’arrive d’essayer de me souvenir des démonstrations les plus belles que j’ai « ressenties » depuis mes années de lycéen.

– La plus lumineuse, la démonstration par Gauss de la somme des n premiers entiers.

– Deux démonstrations du théorème de Pythagore.

– Il y en aurait beaucoup d’autres comme l’infinité des nombres premiers, le développpement en série de ∏ (), la très belle conception de la dualité pour les ensembles convexes (vous pouvez regarder un ensemble à travers ses points « interieurs » ou à travers l’enveloppe duale « extérieure » faite de ses tangentes).

– Mais la plus fascinante pour moi, reste l’utilisation de la Diagonale de Cantor:

[De Wikipedia:]

Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0,1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0,1[, un élément de [0,1[ n’appartenant pas à D.

Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l’aide d’une suite r = (r1, r2, r3, … ). Chaque terme de cette suite a une écriture décimale avec une infinité de chiffres après la virgule (éventuellement une infinité de zéros pour un nombre décimal), soit :

ri = 0, ri1 ri2rin

On construit maintenant un nombre réel x dans [0,1[ en considérant le n-ième chiffre après la virgule de rn. Par exemple, pour la suite r :

r1 = 0, 0 1 0 5 1 1 0 …
r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 …
r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 …
r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 …
r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 …
r6 = 0, 9 9 3 7 8 1 8 …
r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 0

Le nombre réel x est construit par la donnée de ses décimales suivant la règle : si la n-ième décimale de rn est différente de 1, alors la n-ième décimale de x est 1, sinon la n-ième est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus, la règle donne x = 0, 1 2 1 1 1 2 1 …

Le nombre x est clairement dans l’intervalle [0, 1[ mais ne peut pas être dans la suite ( r1, r2, r3, … ), car il n’est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r1 car la première décimale de x est différente de celle de r1, de même pour r2 en considérant la deuxième décimale, etc.

La non-unicité de l’écriture décimale pour les décimaux non nuls (deux écritures sont possibles pour ces nombres, l’une avec toutes les décimales valant 0 sauf un nombre fini, l’autre avec toutes les décimales valant 9 sauf un nombre fini) n’est pas un écueil au raisonnement précédent car le nombre x n’est pas décimal, puisque son écriture décimale est infinie et ne comporte que les chiffres 1 et 2.

Je vais terminer par une dernier extrait de Badiou (page 82): « J’appelle vérités (toujours au pluriel, il n’y a pas la « vérité ») des créations singulières à valeur universelle : œuvres d’art, théories scientifiques, politiques d’émancipation, passions amoureuses. Disons pour couper au plus court : les théories scientifiques sont des vérités concernant l’être lui-même (les mathématiques) ou les lois « naturelles » des mondes dont nous pouvons avoir une connaissance expérimentale (physique et biologie). Les vérités politiques concernent l’agencement des sociétés, les lois de la vie collective et de sa réorganisation, tout cela à la lumière de principes universels, comme la liberté, et aujourd’hui, principalement, l’égalité. Les vérités artistiques se rapportent à la consistance formelle d’œuvres finies qui subliment ce que nos sens peuvent recevoir : musique pour l’ouïe, peinture et sculpture pour la vision, poésie pour la parole… Enfin, les vérités amoureuses portent sur la puissance dialectique contenue dans le fait d’expérimenter le monde non à partir de l’Un, de la singularité individuelle, mais à partir du Deux, et donc dans une acceptation radicale de l’autre. Ces vérités ne sont pas, on le voit, de provenance ou de nature philosophique. Mais mon but est de sauver la catégorie (philosophique) de vérité qui les distingue et les nomme, en légitimant qu’une vérité puisse être :
-absolue, tout en étant une construction localisée,
-éternelle, tout en résultant d’un processus qui commence dans un monde déterminé et appartient donc au temps de ce monde. »

Alexandre Grothendieck, 1928 – 2014

Quels liens y a-t-il entre Andrew Grove (l’article précédent) et Alexandre Grothendieck? Au delà d’initiales communes, d’une jeunesse similaire (naissance dans l’Europe de l’Est communiste qu’ils ont quittée pour faire carrière à l’Ouest) et d’être devenus des icônes de leur monde, il y a simplement qu’ils représentent mes deux passions professionnelles: les start-up et la mathématique. La comparaison s’arrête là, sans doute, mais j’y reviendrai plus bas.

Deux livres ont été publié en janvier 2016 sur la vie de ce génie: Alexandre Grothendieck – sur les traces du dernier génie des mathématiques par Philippe Douroux et Algèbre – éléments de la vie d’Alexandre Grothendieck de Yan Pradeau. Si vous aimez les mathématiques (je devrais dire la mathématique) ou même si vous ne l’aimez pas, lisez ces biographies.

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Je connaissais comme beaucoup l’itinéraire atypique de cet apatride, devenu grande figure de la mathématique dont il obtint la médaille Fields en 1966 et qui décida de vivre en reclus du monde pendant plus de 25 ans dans un petit village proche des Pyrénées jusqu’à son décés en 2014. Je dois aussi avouer que j’ignorais tout de son travail. La lecture de ces deux très jolis livers me montre que je n’étais pas le seul, tant Grothendieck avait exploré des contrées que peu de mathématiciens ont pu suivre. J’ai aussi découvert les anecdotes suivantes:
– à 11 ans, il calcule la circonférence du cercle et en déduit que π vaut 3,
– plus tard, il reconstruit la théorie de la mesure de Lebesgue. Il n’a pas 20 ans,
– un nombre premier est à son nom, 57, qui vaut pourtant 3 x 19.
Oui, cela vaut la peine de découvrir la vie de cet illustre mathématicien.

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La raison du lien que je fait entre Grove et Grothendieck est en fait assez ténue. Elle vient de cette citation: « il y a seulement deux véritables visionnaires dans l’histoire de la Silicon Valley. Jobs et Noyce. Leur vision était de construire de grandes entreprises … Steve avait vingt ans, aucun diplôme, certaines personnes disaient qu’il ne se lavait pas, et il ressemblait à Hô Chi Minh. Mais c’était une personnalité brillante, et c’est un homme brillant maintenant … Succès phénoménal de la jeunesse … Bob était une de ces personnes qui pouvait prendre du recul parce qu’il était excessivement rationnel. Steve ne le pouvait pas. Il était très, très passionné, très compétitif. » Grove était proche de Noyce à plus d’un titre, et extrémement rationnel et trouvait même Noyce trop peu rigoureux. Grothendieck pourrait être rapproché de Jobs. Hippie, passionné et aussi d’une certaine manière autodidacte. La réussite peut venir de personnalités si diverses.

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Dernier point commun ou peut-être une différence. La migration. Grove est devenu un pur américain. Grothendieck fut un éternel apatride, malgré son passeport français. Mais tous les deux montrent son importance. La Silicon Valley regorge de migrants. J’en parle souvent ici. On sait moins que ce que l’on appelle « l’école française des mathématiques » a aussi ses migrants. Si vous allez sur la page wikipedia de la Médaille Fields, vous pourrez lire:

Dix « médaillés Fields » sont d’anciens élèves de l’École normale supérieure : Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), René Thom (1958), Alain Connes (1982), Pierre-Louis Lions (1994), Jean-Christophe Yoccoz (1994), Laurent Lafforgue (2002), Wendelin Werner (2006), Cédric Villani (2010) et Ngô Bảo Châu (2010). Ceci ferait de « Ulm » la deuxième institution au palmarès après « Princeton », si le classement portait sur l’établissement d’origine des médaillés et non le lieu d’obtention. Concernant le pays d’origine, on aboutit à un total de quinze médaillés Fields issus de laboratoires français, ce qui pourrait placer la France en tête des nations formatrices de ces éminents mathématiciens.

Mais outre Grothendieck, l’apatride, Pierre Deligne, le belge, fit sa thèse avec lui, Wendelin Werner fut naturalisé à l’âge de 9 ans, Ngô Bảo Châu l’année ou il reçut la Médaille Fields, après avoir fait toutes ses études supérieures en France, et Artur Ávila est brésilien et français… On pourrait parler de l’Internationale de la Mathématique, ce qui n’aurait peut-être pas déplu à Alexandre Grothendieck.

Quand la science ressemble à la religion: la théorie qui ne mourrait pas.

Voici le troisième livre que je lis en peu de temps sur les statistiques et c’est probablement le plus étrange. Après mon cher Taleb et son Cygne Noir, après les statistiques plus classiques avec Naked Statistics, voici l’histoire de la statistique bayésienne.

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Si vous ne connaissez pas Bayes, permettez-moi simplement de mentionner sa formule, belle par sa symétrie: [Selon wikipedia]
En théorie des probabilités, le théorème de Bayes énonce des probabilités conditionnelles : étant donné deux évènements A et B, le théorème de Bayes permet de déterminer la probabilité de A sachant B, si l’on connaît les probabilités de A, de B et de B sachant A.
P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)

Je n’ai jamais été vraiment à l’aise avec ses applications. J’avais sans doute tort encore une fois, étant donné tout ce que j’ai appris après la lecture de livre de Sharon Bertsch McGrayne. Mais j’ai aussi compris pourquoi je n’ai jamais été à l’aise: depuis trois siècles, il y a eu une guerre quasi-religieuse entre bayésiens et fréquentistes sur l’utilisation des probabilités. Sont-elles liées aux événements fréquents seulement ou peuvent-elles être appliquées à des événements rares? Quelle est la probabilité d’un événement rare qui peut ne jamais se produire ou peut-être juste une fois?

[Laissez-moi vous donner un exemple personnel: Je suis intéressé par l’entrepreneuriat en série, et j’ai fait et je fais encore des tonnes de statistiques sur les entreprises liées à Stanford. J’ai plus de 5’000 entrepreneurs, et plus de 1’000 sont en série. J’ai des résultats qui montrent que les entrepreneurs en série ne sont pas en moyenne meilleurs que les autres, en utilisant  les méthodes classiques des statistiques. Mais maintenant, je dois penser à utiliser:
P (Réussite | Série) = P (Série | Réussite) P (Réussite) / P (Série)
Je ne sais pas ce qui va en ressortir, mais je devrais essayer!].

Si vous voulez un bon résumé de l’ouvrage, lisez la critique de Andrew I. Daleby (pdf). McGrayne illustre l’histoire «récente» des statistiques et des probabilités par des scientifiques de renom (Laplace) et moins célèbres (Bayes), à travers de histoires célèbres (la machine Enigma et Alan Turing) et moins célèbres (des bombes atomiques perdues dans la nature) et c’est un livre fascinant. Je ne suis pas convaincu qu’il soit bon à expliquer la science, mais la quantité d’anecdotes est impressionnante. Et peut-être qu’il n’est pas question de science en définitive, mais plus de croyance comme cela est mentionné dans le livre: « Swinburne inséra des opinions personnelles à la fois dans les probabilités a priori et dans les données prétendument objectives du théorème de Bayes pour conclure que Dieu avait plus de 50% de chance d’exister; plus tard Swinburne calcula la probabilité de la résurrection de Jésus « à quelque chose comme 97 pour cent » [page 177]. Cela évidemment me rappelle la fameuse citation d’Einstein: « Dieu ne joue pas aux dés avec l’univers. » Ce n’est pas directement lié mais encore une fois, je lisais quelque chose sur les liens entre la science, la religion et les probabilités.

Lorsque l’âge n’empêche pas la créativité: un rare exemple en mathématiques

Je parle rarement ici (mais parfois) de Science ou de Mathématique. Seulement quand cela m’aide à illustrer ce que l’innovation ou la créativité ont en commun, et parfois quand je vois des crises analogues dans ces domaines (voir par exemple mes articles sur Dyson, Thiel, Ségalat ou Smolin). Et il y a un autre point connexe: il est souvent affirmé que les grandes découvertes scientifiques et les projets d’entreprise sont réalisés à un jeune âge.

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Yitang Zhang

Vous n’avez probablement jamais entendu parler de Yitang Zhang qui a stupéfié le monde des mathématiques le mois dernier en ayant résolu un problème vieux de plusieurs siècles. C’est un mathématicien totalement inconnu et plus surprenant, il a (plus de) 50 ans. Pour ceux qui s’intéressent au problème, vous pouvez lire d’abord l’article de Nature First proof that infinitely many prime numbers come in pairs. Fondamentalement, Zhang a prouvé qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la distance est inférieur à un nombre N donné. Les mathématiciens rêvent encore de prouver que N est égal à 2 – la conjecture des nombres premiers jumeaux -, mais Zhang est le premier à prouver que N existe … même si N vaut 70 millions!

Imagination / Intuition contre Logique / Raison

Comme Guillermo Martinez l’a écrit à juste titre dans un de ses essais, « il est bien connu qu’il n’y a qu’une seule façon plus efficace pour tuer la conversation dans une salle d’attente que d’ouvrir un livre, c’est d’ouvrir un livre de mathématiques ». J’espère pourtant que vous lirez ce qui suit !

Même dans la haute technologie, l’innovation et l’entrepreneuriat, le thème de l’imagination face à la raison, thème qui pourrait être traduit par « la technologie et le marché », est une question récurrente. Alors, quand je lis des livres sur la créativité, que ce soit scientifique ou artistique, je suis toujours à la recherche de liens avec l’innovation. J’ai eu l’occasion de le vérifier à nouveau avec Guillermo Martinez et son Borges et les mathématiques. Borges est probablement l’un des « poètes » qui met le plus de mathématiques dans son œuvre littéraire. Guillermo Martinez qui est à la fois un romancier et un mathématicien a récemment publié en anglais ce joli petit livre sur les mathématiques dans les nouvelles de Borges. J’ai déjà parlé de mathématiques dans un post récent alors laissez-moi ajouter ici quelques mots sur ce que j’ai aimé.

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Martinez cite Borges qui cite Poe: « Je crois – peut-être naïvement – aux explications de Poe. Je pense que le processus mental qu’il décrit correspond réellement au processus créatif. Je suis sûr que c’est la façon dont fonctionne l’intelligence: à travers des revirements de l’esprit, en franchissant des obstacles et en produisant des éliminations. La complexité de l’opération qu’il décrit ne me dérange pas, je soupçonne que la véritable approche doit être encore plus complexe et beaucoup plus chaotique et hésitante. Tout cela ne signifie pas pour suggérer que les arcanes de la création poétique ont été révélées par Poe. Dans les liens que l’écrivain explore, la conclusion qu’il tire de chaque hypothèse est logique, bien sûr, mais pas la seule nécessaire ». Borges dans La genèse du Corbeau de Poe.

Et il ajoute plus encore sur le processus créatif: Quant au débat sur l’intuition « divine, ailée » en opposition à la logique, au pas de tortue, prosaïque, je voudrais aller à l’encontre d’un mythe à propos des mathématiques: le processus que Borges décrit est exactement le même que celui qui se passe dans la création mathématique. Prenons le mathématicien qui doit prouver un théorème pour la première fois. Notre mathématicien cherche à prouver un résultat sans même savoir si une telle preuve existe vraiment. Il tâtonne son chemin à travers un monde inconnu, à prouver et à faire des erreurs, à affiner son hypothèse, à tout recommencer et essayer une autre approche. Lui aussi a des possibilités infinies à sa portée, à chaque pas qu’il fait. Et si chaque tentative est logique, en aucun cas elle ne sera la seule possible. C’est comme les coups d’un joueur d’échecs. Chacun des mouvements du joueur d’échecs est conforme à la logique du jeu, afin de piéger son rival, mais aucun n’est prédéterminé. Il s’agit d’une étape cruciale dans l’élaboration artistique et mathématique, et dans n’importe quelle tâche d’imagination. Je ne crois pas qu’il existe quelque chose d’unique à la création littéraire en ce qui concerne la dualité de l’imagination / intuition par rapport logique / raison.

Je crois fermement que l’innovation est très similaire au processus de création artistique ou scientifique. Mais dans un autre essai, Martinez dit plus sur la création: « C’est le même sentiment d’euphorie que vous ressentez lorsque, après de nombreuses années de lutte avec votre propre ignorance, vous comprenez soudainement comment regarder quelque chose. Tout devient plus beau, et vous avez le sentiment que vous pouvez voir plus loin qu’avant. C’est un moment glorieux, mais vous devez payer le prix pour ce qui est votre obsession du problème, comme une plaie constante ou un caillou dans votre chaussure. Je ne recommanderais pas ce genre de vie à tout le monde. Einstein avait un ami proche, Michele Besso, avec qui il a discuté de nombreux détails de la théorie de la relativité. Mais Besso-même n’a jamais accompli quelque chose d’important dans la science. Sa femme demanda un jour pourquoi à Einstein, puisque, en fait, son mari était si doué. « Parce qu’il est une bonne personne! » répondit Einstein. Et je pense que c’est vrai. Vous devez être un fanatique, qui ruine sa vie et les vies des personnes qui lui sont proches. » Encore une fois vous pourriez méditer sur le taux élevé de divorce dans la Silicon Valley et la créativité qui nécessite du fanatisme.

Pour ceux qui s’intéressent vraiment en mathématiques, je ne peux pas éviter de mentionner quelques autres sujets abordés par Martinez: le théorème d’incomplétude de Gödel est l’une des plus grandes réalisations en mathématiques, même s’il est compliqué à comprendre. D’une une manière très simpliste, on peut dire que même en mathématiques, il ya des choses qui sont vraies, mais qui ne peuvent pas être prouvées. Le paradoxe de Russell est presque aussi fascinant mais plus simple à saisir:

Il y a quelques versions de ce paradoxe qui se rapprochent de situations réelles et donc peut-être plus faciles à comprendre pour les non-logiciens. « Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui même ? L’étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu’un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu’il n’est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n’y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la non-existence d’un tel barbier. » (Article de Wikipédia)

On peut formuler le paradoxe ainsi : « l’ensemble des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n’appartiennent pas à eux-mêmes, il n’appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l’existence d’un tel ensemble paradoxale. » (Article de Wikipédia)

Symboliquement: si

alors

7 x 7 = (7-1) x (7+1) + 1

Je notai hier cette drôle de formule. Y aurait-il de la magie comme le pensent beaucoup dans le chiffre 7. Est-ce que je serais en train de perdre de mon esprit rationnel – quoique je doive admettre que le monde des start-up est souvent irrationnel? Non : le nombre 7 n’est pas le seul. Il en de même pour 5 [25=24+1], 3 [9=8+1], et ainsi de suite 11, 17. Alors il s’agit des nombres premiers? Même pas, la formule est vérifiable pour tous les entiers… Je me suis senti un peu stupide quand j’ai découvert qu’il ne s’agissait que d’appliquer la formule a^2 – b^2 = (a-b) x (a +b)!!

J’adore les mathématiques et elles n’ont rien de magique, malgré leurs mystères. J’aime aussi lire des livres sur le sujet. Les meilleurs montrent la poésie, la beauté de la discipline. Et pour conclure sur cet article inhabituel sur ce blog, voici quelques unes de mes lectures passées, sans préférence particulière:

Il y a toujours des problèmes non résolus. Le plus célèbre est sans doute de résoudre l’hypothèse de Riemann. Voici deux livres qui racontent sa genèse:

(Cliquer sur chaque image pour un lien au livre)

Il y a même un prix de un million de dollars pour 7 prix à résoudre, proposé par le Clay Institute. Le premier problème résolu fut la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman. Perelman a décliné le prix mais ceci est une autre histoire !

Avant ces problèmes, il y eut les problèmes de Hilbert. A l’époque, le Théorème de Fermat était sans doute le plus célèbre !

Enfin deux derniers exemples pour terminer, mais je pourrais en citer tant d’autres, voici la biographie de génies des mathématiques assez étranges, Srinivasa Ramanujan et Paul Erdös

Je reviendrais peut-être un jour sur le sujet, et plus généralement sur les livres de popularisation des sciences! N’hésitez pas à me donner vos exemples et conseils… 🙂

NB: si vous cherchez les éditions en anglais, voir l’article http://www.startup-book.com/2012/11/19/7-x-7-7-1-x-71-1/